Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Definitionsabfrage
Es sei ein Körper. Eine ebene affin-algebraische Kurve über ist das Nullstellengebilde eines nicht-konstanten Polynoms in zwei Variablen, also
D.h. es ist
Es sei ein Körper und sei , , eine Familie von Polynomen in Variablen. Dann nennt man
das durch die Familie definierte Nullstellengebilde (oder Nullstellenmenge). Es wird mit bezeichnet.
Es sei ein Körper und sei der Polynomring in Variablen. Dann heißt eine Teilmenge im affinen Raum affin-algebraisch, wenn sie die Nullstellenmenge zu einer Familie , , von Polynomen ist, wenn also gilt.
Ein Körper heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nichtkonstante Polynom eine Nullstelle in besitzt.
Es sei ein Körper. Eine Körpererweiterung heißt algebraischer Abschluss von , wenn die Erweiterung algebraisch und algebraisch abgeschlossen ist.
Es sei ein Körper und ein von verschiedenes Polynom. Es sei ein Punkt der zugehörigen affinen ebenen Kurve. Dann heißt ein glatter Punkt von , wenn
gilt. Andernfalls heißt der Punkt singulär.
Es sei ein Körper und ein von verschiedenes Polynom. Man nennt eine glatte Kurve, wenn sie in jedem - Punkt glatt ist.
Ein kommutativer Ring heißt lokal, wenn genau ein maximales Ideal besitzt.
Ein diskreter Bewertungsring ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in gibt.
Es sei ein Körper. Der projektive -dimensionale Raum besteht aus allen Geraden des durch den Nullpunkt, wobei diese Geraden als Punkte aufgefasst werden. Ein solcher Punkt wird repräsentiert durch homogene Koordinaten , wobei nicht alle sein dürfen, und wobei zwei solche Koordinatentupel genau dann den gleichen Punkt repräsentieren, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar ineinander übergehen.
Die Abbildung
die einem Punkt die durch diesen Punkt und den Nullpunkt bestimmte Gerade zuordnet, heißt Kegelabbildung.
Es sei ein Körper. Zu einem homogenen Polynom bezeichnet man die Menge
als die projektive Nullstellenmenge zu .
Es sei ein Körper und ein Ideal. Das Ideal heißt homogen, wenn für jedes mit der homogener Zerlegung auch für alle homogenen Bestandteile ist.
Zu einem homogenen Ideal nennt man
das projektive Nullstellengebilde oder die projektive Varietät zu .
Der projektive Raum wird mit der Zariski-Topologie versehen, bei der die Mengen zu einem homogenen Ideal als abgeschlossen erklärt werden.
Eine projektive ebene Kurve ist die Nullstellenmenge zu einem homogenen nicht-konstanten Polynom .
Es sei ein Körper und . Dann heißt die ebene projektive Kurve
die Fermat-Kurve vom Grad .
Es sei ein Körper. Eine ebene projektive Kurve zu einem homogenen Polynom heißt glatt, wenn sie in jedem - Punkt glatt ist.
Eine glatte ebene projektive Kurve mit homogen vom Grad , die zumindest einen - rationalen Punkt besitzt, heißt elliptische Kurve über .
Eine natürliche Zahl heißt kongruent, wenn sie als Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks auftritt, dessen Seitenlängen allesamt rationale Zahlen sind.
Es sei eine elliptische Kurve über einem Körper in kurzer Weierstraßform
Dann nennt man
die Diskriminante von .
Es sei eine elliptische Kurve über einem Körper in kurzer Weierstraßform
Dann nennt man
wobei die Diskriminante zu bezeichnet, die -Invariante von .
Man sagt, dass eine elliptische Kurve in Legendrescher Normalform vorliegt, wenn sie durch eine Gleichung der Form
mit beschrieben wird.
Es sei eine elliptische Kurve über und sei ein fixierter - Wendepunkt der Kurve. Zu -Punkten sei die projektive Gerade durch und , die bei als Tangente durch zu interpretieren ist, und sei der neben und dritte Punkt auf der Kurve. Dann nennt man
das Negative zu und
die Summe der beiden Punkte.
Es seien linear unabhängige Vektoren im . Dann heißt die Untergruppe ein Gitter im .
Unter einem Gitter in den komplexen Zahlen versteht man ein vollständiges Gitter .
Eine komplexe Mannigfaltigkeit , die zugleich eine Gruppe ist, für die die Gruppenverknüpfung
und die Inversenbildung
holomorph sind, heißt komplexe Lie-Gruppe.
Unter einem komplexen Torus versteht man den Quotientenraum zu einem Gitter .
Zwei Gitter heißen streckungsäquivalent, wenn es eine komplexe Zahl mit gibt.
Die Gruppenoperation der Gruppe auf der oberen Halbebene durch
heißt Modulsubstitution.
Zu komplexen Tori und nennt man einen holomorphen Gruppenhomomorphismus eine Isogenie
Komplexe Tori über heißen isogen, wenn es eine nichtkonstante Isogenie gibt.
Es sei ein Gitter und der zugehörige komplexe Torus. Man nennt
mit der Addition und der Hintereinanderschaltung von Isogenien den Endomorphismenring von .
Es sei ein Gitter. Eine meromorphe Funktion
heißt elliptisch bezüglich oder -doppeltperiodisch, wenn
für alle gilt.
Es sei ein Gitter. Die Menge aller elliptischen Funktionen bezüglich mit der natürlichen Addition und Multiplikation nennt man den Körper der elliptischen Funktionen.
Es sei ein Gitter. Man nennt die meromorphe Funktion
die Weierstraßsche -Funktion zum Gitter .
Es sei ein Gitter und . Dann heißt
die Eisensteinreihe zum Gitter und zum Gewicht .
Es sei ein Gitter. Wir setzen
und nennen dies die Diskriminante des Gitters .
Es seien und irreduzible algebraische Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei
eine endliche Abbildung. Dann nennt man den Grad der zugehörigen Körpererweiterung der Funktionenkörper den Grad von .
Zu einem injektiven Ringhomomorphismus zwischen diskreten Bewertungsringen nennt man die Ordnung einer Ortsuniformisierenden von in die Verzweigungsindex der Erweiterung.
Ein injektiver Ringhomomorphismus zwischen diskreten Bewertungsringen heißt verzweigt, wenn seine Verzweigungsordnung ist.
Es seien und irreduzible algebraische Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei
eine endliche Abbildung. Man nennt separabel, wenn die zugehörige Körpererweiterung der Funktionenkörper separabel ist.
Es seien und elliptische Kurven über einem Körper . Eine Isogenie ist ein Morphismus
mit .
Zu einer elliptischen Kurve über dem Körper nennt man
mit der Addition und der Hintereinanderschaltung von Isogenien den Endomorphismenring von .
Es sei eine irreduzible glatte Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper . Unter einem Weildivisor versteht man eine formale endliche Summe .
Es sei eine irreduzible glatte Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei , , ein Element des Funktionenkörpers. Man nennt den Hauptdivisor zu .
Es sei eine irreduzible glatte Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper mit Funktionenkörper . Dann nennt man die Restklassengruppe
die Divisorenklassengruppe von .
Es sei eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper . Zu einem Weildivisor auf ist der Grad als
definiert.
Zu einem nichtkonstanten Morphismus
zwischen glatten Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und einem Weildivisor auf nennt man
den zurückgezogenen Weildivisor.
Es sei eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper . Man nennt
die Divisorenklassengruppe vom Grad 0 zu .
Zu einem nichtkonstanten Morphismus
zwischen glatten Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und einem Weildivisor auf nennt man
den vorgeschobenen Weildivisor.
Es sei eine elliptische Kurve über einem Körper . Dann nennt man den Rang der kommutativen Gruppe den Rang von .
Es sei eine kommutative Gruppe und eine Primzahl. Unter dem -adischen Tate-Modul von versteht man die Gruppe
wobei die Torsionsuntergruppe der Ordnung bezeichnet.
Zu einer elliptischen Kurve über einem Körper und einer Primzahl versteht man unter dem -adischen Tate-Modul den projektiven Limes
Es sei eine kommutative Gruppe und sei
eine Funktion. Wir nennen eine schwache Höhenfunktion, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
- Zu
gibt es eine reelle Zahl derart, dass
für alle gilt.
- Es gibt eine natürliche Zahl
und eine Konstante derart, dass
für alle gilt.
- Für jede Schranke ist die Menge
endlich.
Es sei ein Körper. Eine Funktion
heißt Betrag (oder Absolutbetrag) auf , wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind.
- Es ist für alle .
- Es ist genau dann, wenn ist.
- Es ist
- Es ist
Ein Betrag
auf einem Körper heißt archimedisch, wenn die Menge in nicht beschränkt ist.
Unter versteht man die Menge bestehend aus dem archimedischen Standardbetrag
und aus den Beträgen zu jeder Primzahl , die durch
gegeben sind.
Es sei ein Zahlkörper. Mit bezeichnet man die Menge der Beträge auf , deren Einschränkung auf mit einem rationalen Standardbetrag übereinstimmt.
Es sei ein Zahlkörper und sei ein -Punkt mit den homogenen Koordinaten . Dann versteht man unter der Höhe (über ) von die reelle Zahl
Es sei und sei ein Zahlkörper, über den der Punkt definiert ist. Dann nennt man
die absolute Höhe von .
Zu nennt man
wobei die absolute Höhe von bezeichnet, die logarithmische Höhe von .
Es sei eine Varietät über einem endlichen Körper und es bezeichne die Anzahl der Punkte von . Dann nennt man
die Zeta-Funktion von .
Es sei eine elliptische Kurve über mit einem homogenen kubischen ganzzahligen Polynom und sei eine Primzahl. Man sagt, dass gute Reduktion modulo besitzt, wenn glatt ist, und andernfalls, dass schlechte Reduktion modulo besitzt.
Es sei eine elliptische Kurve über mit und sei eine Primzahl. Man sagt, dass additive Reduktion modulo besitzt, wenn irreduzibel ist und einen singulären Punkt mit einer Tangentenrichtung besitzt.
Es sei eine elliptische Kurve über mit und sei eine Primzahl. Man sagt, dass multiplikative Reduktion modulo besitzt, wenn irreduzibel ist und einen singulären Punkt mit zwei Tangentenrichtungen besitzt.
Es sei eine elliptische Kurve über mit und sei eine Primzahl. Man sagt, dass spaltende multiplikative Reduktion modulo besitzt, wenn irreduzibel ist und einen singulären Punkt mit zwei Tangentenrichtungen besitzt, die über definiert sind.
Zu einer elliptischen Kurve über in ganzzahliger Darstellung definiert man die -Reihe unter Verwendung der Definition 26.11 durch
Es sei . Eine meromorphe Funktion auf der oberen Halbebene heißt Modulfunktion vom Gewicht , wenn
für alle
gilt und wenn meromorph in ist.
Eine Modulfunktion auf der oberen Halbebene vom Gewicht heißt Modulform, wenn sie holomorph in und holomorph in ist.
Es sei . Die Untergruppe
heißt Hauptkongruenzgruppe zur Stufe .