Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Definitionsliste

Definition:Ebene affin-algebraische Kurve

Es sei ${}K$ ein Körper. Eine ebene affin-algebraische Kurve über ${}K$ ist das Nullstellengebilde ${}V(F)\subseteq K^{2}$ eines nicht-konstanten Polynoms ${}F$ in zwei Variablen, also

$F=\sum _{0\leq i,j\leq m}\,a_{ij}X^{i}Y^{j}\,({\text{mit }}a_{ij}\in K).$

D.h. es ist

$V(F)={\left\{(x,y)\in K^{2}\mid F(x,y)=\sum _{0\leq i,j\leq m}\,a_{ij}x^{i}y^{j}=0\right\}}\,.$

Definition:Nullstellengebilde

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}F_{j}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, ${}j\in J$, eine Familie von Polynomen in ${}n$ Variablen. Dann nennt man

${\left\{P\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\mid F_{j}(P)=0{\text{ für alle }}j\in J\right\}}$

das durch die Familie definierte Nullstellengebilde (oder Nullstellenmenge). Es wird mit ${}V(F_{j},j\in J)$ bezeichnet.

Definition:Affin-algebraische Mengen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in ${}n$ Variablen. Dann heißt eine Teilmenge ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ im affinen Raum affin-algebraisch, wenn sie die Nullstellenmenge zu einer Familie ${}F_{j}$, ${}j\in J$, von Polynomen ${}F_{j}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ist, wenn also ${}V=V(F_{j},j\in J)$ gilt.

Definition:Algebraisch abgeschlossener Körper

Ein Körper ${}K$ heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nichtkonstante Polynom ${}F\in K[X]$ eine Nullstelle in ${}K$ besitzt.

Definition:Algebraischer Abschluss

Es sei ${}K$ ein Körper. Eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ heißt algebraischer Abschluss von ${}K$, wenn die Erweiterung algebraisch und ${}L$ algebraisch abgeschlossen ist.

Definition:Glatter Punkt (ebene Kurve)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}F\in K[X,Y]$ ein von ${}0$ verschiedenes Polynom. Es sei ${}P\in C=V(F)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ ein Punkt der zugehörigen affinen ebenen Kurve. Dann heißt ${}P$ ein glatter Punkt von ${}C$, wenn

${\frac {\partial F}{\partial X}}(P)\neq 0{\text{ oder }}{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)\neq 0$

gilt. Andernfalls heißt der Punkt singulär.

Definition:Glatte ebene Kurve

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}F\in K[X,Y]$ ein von ${}0$ verschiedenes Polynom. Man nennt ${}C=V(F)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ eine glatte Kurve, wenn sie in jedem ${}L$- Punkt ${}P\in C_{L}\subseteq {\mathbb {A} }_{L}^{2}$ glatt ist.

Definition:Lokaler Ring

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt lokal, wenn ${}R$ genau ein maximales Ideal besitzt.

Definition:Diskreter Bewertungsring

Ein diskreter Bewertungsring ${}R$ ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in ${}R$ gibt.

Definition:Der projektive Raum

Es sei ${}K$ ein Körper. Der projektive ${}n$-dimensionale Raum ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ besteht aus allen Geraden des ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}$ durch den Nullpunkt, wobei diese Geraden als Punkte aufgefasst werden. Ein solcher Punkt wird repräsentiert durch homogene Koordinaten ${}(a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n})$, wobei nicht alle ${}a_{i}=0$ sein dürfen, und wobei zwei solche Koordinatentupel genau dann den gleichen Punkt repräsentieren, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar ${}\lambda \in K^{\times }$ ineinander übergehen.

Definition:Kegelabbildung

Die Abbildung

${{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n},\,\left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right),$

die einem Punkt ${}\neq 0$ die durch diesen Punkt und den Nullpunkt bestimmte Gerade zuordnet, heißt Kegelabbildung.

Definition:Projektives Nullstellengebilde zu homogenem Polynom

Es sei ${}K$ ein Körper. Zu einem homogenen Polynom ${}F\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ bezeichnet man die Menge

$V_{+}(F)={\left\{P=(x_{0},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}\mid F(x_{0},\ldots ,x_{n})=0\right\}}\,$

als die projektive Nullstellenmenge zu ${}F$.

Definition:Homogenes Ideal

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}{\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Ideal. Das Ideal heißt homogen, wenn für jedes ${}H\in {\mathfrak {a}}$ mit der homogener Zerlegung ${}H=\sum _{i}H_{i}$ auch ${}H_{i}\in {\mathfrak {a}}$ für alle homogenen Bestandteile ${}H_{i}$ ist.

Definition:Nullstellengebilde zu einem homogenen Ideal

Zu einem homogenen Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{0},\ldots ,X_{n}]$ nennt man

$V_{+}({\mathfrak {a}})={\left\{P=(x_{0},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}\mid F(P)=0{\text{ für }}{\text{alle homogenen }}F\in {\mathfrak {a}}\right\}}\,$

das projektive Nullstellengebilde oder die projektive Varietät zu ${}{\mathfrak {a}}$.

Definition:Die Zariski-Topologie auf dem projektiven Raum

Der projektive Raum ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ wird mit der Zariski-Topologie versehen, bei der die Mengen ${}V_{+}({\mathfrak {a}})\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ zu einem homogenen Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ als abgeschlossen erklärt werden.

Definition:Projektive ebene Kurve

Eine projektive ebene Kurve ist die Nullstellenmenge ${}C=V_{+}(F)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ zu einem homogenen nicht-konstanten Polynom ${}F\in K[X,Y,Z]$.

Definition:Fermat-Kurven

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}d\geq 1$. Dann heißt die ebene projektive Kurve

${}V(X^{d}+Y^{d}+Z^{d})\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$

die Fermat-Kurve vom Grad ${}d$.

Definition:Glatte (ebene projektive) Kurve

Es sei ${}K$ ein Körper. Eine ebene projektive Kurve ${}C=V_{+}(F)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ zu einem homogenen Polynom ${}F\in K[X,Y,Z]$ heißt glatt, wenn sie in jedem ${}L$- Punkt ${}P\in C_{L}\subseteq {\mathbb {P} }_{L}^{2}$ glatt ist.

Definition:Elliptische Kurve

Eine glatte ebene projektive Kurve ${}V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ mit ${}F\in K[X,Y,Z]$ homogen vom Grad ${}3$, die zumindest einen ${}K$- rationalen Punkt besitzt, heißt elliptische Kurve über ${}K$.

Definition:Kongruente Zahl

Eine natürliche Zahl ${}n\geq 1$ heißt kongruent, wenn sie als Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks auftritt, dessen Seitenlängen allesamt rationale Zahlen sind.

Definition:Diskriminante (elliptische Kurve)

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem Körper ${}K$ in kurzer Weierstraßform

${}y^{2}=x^{3}+ax+b\,.$

Dann nennt man

${}\Delta =-16(4a^{3}+27b^{2})\,$

die Diskriminante von ${}E$.

Definition:j-Invariante

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem Körper ${}K$ in kurzer Weierstraßform

${}y^{2}=x^{3}+ax+b\,.$

Dann nennt man

${}j={\frac {-12^{3}(4a)^{3}}{\Delta }}\,,$

wobei ${}\Delta$ die Diskriminante zu ${}E$ bezeichnet, die ${}j$-Invariante von ${}E$.

Definition:Legendresche Normalform

Man sagt, dass eine elliptische Kurve in Legendrescher Normalform vorliegt, wenn sie durch eine Gleichung der Form

${}y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )\,$

mit ${}\lambda \in K\setminus \{0,1\}$ beschrieben wird.

Definition:Addition auf elliptischer Kurve

Es sei ${}E=V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine elliptische Kurve über ${}K$ und sei ${}{\mathfrak {O}}\in E$ ein fixierter ${}K$- Wendepunkt der Kurve. Zu ${}K$-Punkten ${}P,Q\in E$ sei ${}{\overline {P,Q}}$ die projektive Gerade durch ${}P$ und ${}Q$, die bei ${}P=Q$ als Tangente durch ${}P$ zu interpretieren ist, und sei ${}P\star Q$ der neben ${}P$ und ${}Q$ dritte Punkt auf der Kurve. Dann nennt man

${}-P:={\mathfrak {O}}*P\,$

das Negative zu ${}P$ und

${}P+Q:=-(P*Q)={\mathfrak {O}}*(P*Q)\,$

die Summe der beiden Punkte.

Definition:Gitter

Es seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ linear unabhängige Vektoren im ${}\mathbb {R} ^{n}$. Dann heißt die Untergruppe ${}\mathbb {Z} v_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} v_{n}$ ein Gitter im ${}\mathbb {R} ^{n}$.

Definition:Gitter (${}{\mathbb {C} }$)

Unter einem Gitter in den komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$ versteht man ein vollständiges Gitter ${}\Gamma =\mathbb {Z} v_{1}\oplus \mathbb {Z} v_{2}\subset {\mathbb {C} }$.

Definition:Komplexe Lie-Gruppe

Eine komplexe Mannigfaltigkeit ${}M$, die zugleich eine Gruppe ist, für die die Gruppenverknüpfung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$

und die Inversenbildung

$M\longrightarrow M,\,x\longmapsto x^{-1},$

holomorph sind, heißt komplexe Lie-Gruppe.

Definition:Komplexer Torus

Unter einem komplexen Torus versteht man den Quotientenraum ${}{\mathbb {C} }/\Gamma$ zu einem Gitter ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$.

Definition:Streckungsäquivalente Gitter

Zwei Gitter ${}\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subset {\mathbb {C} }$ heißen streckungsäquivalent, wenn es eine komplexe Zahl ${}s\in {\mathbb {C} }$ mit ${}\Gamma _{2}=s\Gamma _{1}$ gibt.

Definition:Modulsubstitution

Die Gruppenoperation der Gruppe ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$ auf der oberen Halbebene ${}{\mathbb {H} }$ durch

${}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\tau :={\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\,$

heißt Modulsubstitution.

Definition:Isogenie (Torus)

Zu komplexen Tori ${}E_{1}$ und ${}E_{2}$ nennt man einen holomorphen Gruppenhomomorphismus ${}\varphi \colon E_{1}\rightarrow E_{2}$ eine Isogenie

Definition:Isogene eindimensionale komplexe Tori

Komplexe Tori ${}E_{1},E_{2}$ über ${}{\mathbb {C} }$ heißen isogen, wenn es eine nichtkonstante Isogenie ${}E_{1}\rightarrow E_{2}$ gibt.

Definition:Endomorphismenring (komplexer Torus)

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und ${}E={\mathbb {C} }/\Gamma$ der zugehörige komplexe Torus. Man nennt

${}\operatorname {End} _{}{\left(E\right)}={\left\{f:E\rightarrow E\mid f{\text{ Isogenie}}\right\}}\,$

mit der Addition und der Hintereinanderschaltung von Isogenien den Endomorphismenring von ${}E$.

Definition:Elliptische Funktion

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Eine meromorphe Funktion

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

heißt elliptisch bezüglich ${}\Gamma$ oder ${}\Gamma$-doppeltperiodisch, wenn

${}f(z)=f(z+v)\,$

für alle ${}v\in \Gamma$ gilt.

Definition:Körper der elliptischen Funktionen

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Die Menge aller elliptischen Funktionen bezüglich ${}\Gamma$ mit der natürlichen Addition und Multiplikation nennt man den Körper der elliptischen Funktionen.

Definition:Die Weierstraßsche ${}\wp$-Funktion

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Man nennt die meromorphe Funktion

$\wp \colon {\mathbb {C} }\setminus \Gamma \longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto {\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{v\in \Gamma '}{\left({\frac {1}{(z-v)^{2}}}-{\frac {1}{v^{2}}}\right)},$

die Weierstraßsche ${}\wp$-Funktion zum Gitter ${}\Gamma$.

Definition:Eisensteinreihe

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und ${}k\in \mathbb {N} _{\geq 3}$. Dann heißt

${}G_{k}(\Gamma ):=\sum _{z\in \Gamma '}{\frac {1}{z^{k}}}\,$

die Eisensteinreihe zum Gitter ${}\Gamma$ und zum Gewicht ${}k$.

Definition:Diskriminante (Gitter)

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Wir setzen

${}\Delta (\Gamma ):=g_{2}^{3}(\Gamma )-27g_{3}^{2}(\Gamma )\,$

und nennen dies die Diskriminante des Gitters ${}\Gamma$.

Definition:Grad (Kurvenmorphismus)

Es seien ${}C$ und ${}D$ irreduzible algebraische Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ und sei

$\varphi \colon C\longrightarrow D$

eine endliche Abbildung. Dann nennt man den Grad der zugehörigen Körpererweiterung der Funktionenkörper ${}Q(D)\subseteq Q(C)$ den Grad von ${}\varphi$.

Definition:Verzweigungsindex

Zu einem injektiven Ringhomomorphismus ${}R\subseteq S$ zwischen diskreten Bewertungsringen nennt man die Ordnung einer Ortsuniformisierenden von ${}R$ in ${}S$ die Verzweigungsindex der Erweiterung.

Definition:Verzweigung

Ein injektiver Ringhomomorphismus ${}R\subseteq S$ zwischen diskreten Bewertungsringen heißt verzweigt, wenn seine Verzweigungsordnung ${}\geq 2$ ist.

Definition:Separabel (Kurvenabbildung)

Es seien ${}C$ und ${}D$ irreduzible algebraische Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ und sei

$\varphi \colon C\longrightarrow D$

eine endliche Abbildung. Man nennt ${}\varphi$ separabel, wenn die zugehörige Körpererweiterung der Funktionenkörper ${}Q(D)\subseteq Q(C)$ separabel ist.

Definition:Isogenie (elliptische Kurve)

Es seien ${}E_{1}$ und ${}E_{2}$ elliptische Kurven über einem Körper ${}K$. Eine Isogenie ist ein Morphismus

$\varphi \colon E_{1}\longrightarrow E_{2}$

mit ${}\varphi ({\mathfrak {O}}_{1})={\mathfrak {O}}_{2}$.

Definition:Endomorphismenring (elliptische Kurve)

Zu einer elliptischen Kurve ${}E$ über dem Körper ${}K$ nennt man

${}\operatorname {End} _{}{\left(E\right)}={\left\{f:E\rightarrow E\mid f{\text{ Isogenie }}\right\}}\,$

mit der Addition und der Hintereinanderschaltung von Isogenien den Endomorphismenring von ${}E$.

Definition:Weildivisor

Es sei ${}C$ eine irreduzible glatte Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$. Unter einem Weildivisor versteht man eine formale endliche Summe ${}D=\sum _{P\in C}n_{P}P$.

Definition:Hauptdivisor

Es sei ${}C$ eine irreduzible glatte Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ und sei ${}f\in Q(C)$, ${}f\neq 0$, ein Element des Funktionenkörpers. Man nennt ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}=\sum _{P\in C}\operatorname {ord} _{P}\,(f)P$ den Hauptdivisor zu ${}f$.

Definition:Divisorenklassengruppe

Es sei ${}C$ eine irreduzible glatte Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ mit Funktionenkörper ${}Q(C)$. Dann nennt man die Restklassengruppe

${}\operatorname {DKG} {\left(C\right)}=\operatorname {Div} \,(C)/\operatorname {HDiv} \,(C)\,$

die Divisorenklassengruppe von ${}C$.

Definition:Grad eines Weildivisors

Es sei ${}C$ eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$. Zu einem Weildivisor ${}D=\sum _{P\in C}n_{P}P$ auf ${}C$ ist der Grad als

${}\operatorname {deg} {\left(D\right)}:=\sum _{P\in C}n_{P}\,$

definiert.

Definition:Zurückgezogener Weildivisor

Zu einem nichtkonstanten Morphismus

$\varphi \colon C_{1}\longrightarrow C_{2}$

zwischen glatten Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und einem Weildivisor ${}D=\sum _{P}a_{P}\cdot P$ auf ${}C_{2}$ nennt man

${}\varphi ^{*}D:=\sum _{Q\in C_{1}}\operatorname {Verz} {\left(Q{|}\varphi (Q)\right)}a_{\varphi (Q)}\cdot Q\,$

den zurückgezogenen Weildivisor.

Definition:Divisorenklassengruppe vom Grad 0

Es sei ${}C$ eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$. Man nennt

${}\operatorname {DKG} _{0}{\left(C\right)}=\operatorname {Div} _{0}\,(C)/\operatorname {HDiv} \,(C)\,$

die Divisorenklassengruppe vom Grad 0 zu ${}C$.

Definition:Vorgeschobener Weildivisor

Zu einem nichtkonstanten Morphismus

$\varphi \colon C_{1}\longrightarrow C_{2}$

zwischen glatten Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und einem Weildivisor ${}D=\sum _{P}n_{P}\cdot P$ auf ${}C_{1}$ nennt man

${}\varphi _{*}D:=\sum _{P\in C_{1}}n_{P}\varphi (P)=\sum _{Q\in C_{2}}{\left(\sum _{P\in \varphi ^{-1}(Q)}n_{P}\right)}Q\,$

den vorgeschobenen Weildivisor.

Definition:Rang (elliptische Kurve)

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem Körper ${}K$. Dann nennt man den Rang der kommutativen Gruppe ${}E(K)$ den Rang von ${}E$.

Definition:Tate-Modul (kommutative Gruppe)

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe und ${}\ell$ eine Primzahl. Unter dem ${}\ell$-adischen Tate-Modul von ${}G$ versteht man die Gruppe

${}T_{\ell }(G)=\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }G[\ell ^{n}]\,,$

wobei ${}G[\ell ^{n}]$ die Torsionsuntergruppe der Ordnung ${}\ell ^{n}$ bezeichnet.

Definition:Tate-Modul (elliptische Kurve)

Zu einer elliptischen Kurve über einem Körper ${}K$ und einer Primzahl ${}\ell$ versteht man unter dem ${}\ell$-adischen Tate-Modul den projektiven Limes

${}T_{\ell }(E)=\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }E[\ell ^{n}]=\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {Tor} _{\ell ^{n}}{\left(E({\overline {K}})\right)}\,.$

Definition:Schwache Höhe (Gruppe)

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe und sei

$h\colon G\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

eine Funktion. Wir nennen ${}h$ eine schwache Höhenfunktion, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

1. Zu ${}P\in G$ gibt es eine reelle Zahl ${}S_{1}$ derart, dass

   ${}h(P+Q)\leq 2h(Q)+S_{1}\,$

   für alle ${}Q\in G$ gilt.

2. Es gibt eine natürliche Zahl ${}m\in \mathbb {N} _{\geq 2}$ und eine Konstante ${}S_{2}$ derart, dass

   ${}h(mP)\geq m^{2}h(P)-S_{2}\,$

   für alle ${}P\in G$ gilt.

3. Für jede Schranke ${}S$ ist die Menge

   ${\left\{x\in G\mid h(x)\leq S\right\}}$

   endlich.

Definition:Absolutbetrag

Es sei ${}K$ ein Körper. Eine Funktion

$\vert {-}\vert \colon K\longrightarrow \mathbb {R} ,\,f\longmapsto \vert {f}\vert$

heißt Betrag (oder Absolutbetrag) auf ${}K$, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind.

1. Es ist ${}\vert {f}\vert \geq 0$ für alle ${}f$.
2. Es ist ${}\vert {f}\vert =0$ genau dann, wenn ${}f=0$ ist.
3. Es ist

   ${}\vert {fg}\vert =\vert {f}\vert \cdot \vert {g}\vert \,.$

4. Es ist

   ${}\vert {f+g}\vert \leq \vert {f}\vert +\vert {g}\vert \,.$

Definition:Archimedischer Betrag

Ein Betrag

$\vert {-}\vert \colon K\longrightarrow \mathbb {R}$

auf einem Körper ${}K$ heißt archimedisch, wenn die Menge ${}\mathbb {N}$ in ${}K$ nicht beschränkt ist.

Definition:Standardbetragsmenge (${}\mathbb {Q}$)

Unter ${}M_{\mathbb {Q} }$ versteht man die Menge bestehend aus dem archimedischen Standardbetrag

${}\vert {-}\vert =\vert {-}\vert _{\infty }\,$

und aus den Beträgen ${}\vert {-}\vert _{p}$ zu jeder Primzahl ${}p$, die durch

${}\vert {f}\vert _{p}:=p^{-\operatorname {ord} _{p}\,(f)}\,$

gegeben sind.

Definition:Standardbetragsmenge (Zahlkörper)

Es sei ${}K$ ein Zahlkörper. Mit ${}M_{K}$ bezeichnet man die Menge der Beträge auf ${}K$, deren Einschränkung auf ${}\mathbb {Q}$ mit einem rationalen Standardbetrag übereinstimmt.

Definition:Höhe (rationaler Punkt)

Es sei ${}K$ ein Zahlkörper und sei ${}P\in {\mathbb {P} }_{K}^{m}$ ein ${}K$-Punkt mit den homogenen Koordinaten ${}P=\left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{m}\right)$. Dann versteht man unter der Höhe (über ${}K$) von ${}P$ die reelle Zahl

${}H_{K}(P):=\prod _{v\in M_{K}}\max\{\vert {x_{0}}\vert _{v}^{n_{v}},\vert {x_{1}}\vert _{v}^{n_{v}},\ldots ,\vert {x_{m}}\vert _{v}^{n_{v}}\}=\prod _{v\in M_{K}}\max\{\Vert {x_{0}}\Vert _{v},\Vert {x_{1}}\Vert _{v},\ldots ,\Vert {x_{m}}\Vert _{v}\}\,.$

Definition:Absolute Höhe (rationaler Punkt)

Es sei ${}P\in {\mathbb {P} }_{}^{m}({\overline {\mathbb {Q} }})$ und sei ${}K$ ein Zahlkörper, über den der Punkt ${}P$ definiert ist. Dann nennt man

${}H(P):=H_{K}(P)^{\frac {1}{\operatorname {grad} _{\mathbb {Q} }K}}={\sqrt[{\operatorname {grad} _{\mathbb {Q} }K}]{H_{K}(P)}}\,$

die absolute Höhe von ${}P$.

Definition:Logarithmische Höhe (rationaler Punkt)

Zu ${}P\in {\mathbb {P} }_{}^{m}({\overline {\mathbb {Q} }})$ nennt man

${}h(P):=\ln H(P)\,,$

wobei ${}H(P)$ die absolute Höhe von ${}P$ bezeichnet, die logarithmische Höhe von ${}P$.

Definition:Zeta-Funktion

Es sei ${}X$ eine Varietät über einem endlichen Körper ${}{\mathbb {F} }_{q}$ und es bezeichne ${}N_{r}$ die Anzahl der Punkte von ${}X({\mathbb {F} }_{q^{r}})$. Dann nennt man

${}Z(t)=Z(X;t)=\exp \left(\sum _{r=1}^{\infty }N_{r}{\frac {t^{r}}{r}}\right)\,$

die Zeta-Funktion von ${}X$.

Definition:Gute Reduktion

Es sei ${}E=V_{+}(F)$ eine elliptische Kurve über ${}\mathbb {Q}$ mit einem homogenen kubischen ganzzahligen Polynom ${}F\in \mathbb {Z} [X,Y,Z]$ und sei ${}p$ eine Primzahl. Man sagt, dass ${}E$ gute Reduktion modulo ${}p$ besitzt, wenn ${}E_{p}$ glatt ist, und andernfalls, dass ${}E$ schlechte Reduktion modulo ${}p$ besitzt.

Definition:Additive Reduktion

Es sei ${}E=V_{+}(F)$ eine elliptische Kurve über ${}\mathbb {Q}$ mit ${}F\in \mathbb {Z} [X,Y,Z]$ und sei ${}p$ eine Primzahl. Man sagt, dass ${}E$ additive Reduktion modulo ${}p$ besitzt, wenn ${}E_{p}$ irreduzibel ist und einen singulären Punkt mit einer Tangentenrichtung besitzt.

Definition:Multiplikative Reduktion

Es sei ${}E=V_{+}(F)$ eine elliptische Kurve über ${}\mathbb {Q}$ mit ${}F\in \mathbb {Z} [X,Y,Z]$ und sei ${}p$ eine Primzahl. Man sagt, dass ${}E$ multiplikative Reduktion modulo ${}p$ besitzt, wenn ${}E_{p}$ irreduzibel ist und einen singulären Punkt mit zwei Tangentenrichtungen besitzt.

Definition:Spaltende multiplikative Reduktion

Es sei ${}E=V_{+}(F)$ eine elliptische Kurve über ${}\mathbb {Q}$ mit ${}F\in \mathbb {Z} [X,Y,Z]$ und sei ${}p$ eine Primzahl. Man sagt, dass ${}E$ spaltende multiplikative Reduktion modulo ${}p$ besitzt, wenn ${}E_{p}$ irreduzibel ist und einen singulären Punkt mit zwei Tangentenrichtungen besitzt, die über ${}\mathbb {Z} /(p)$ definiert sind.

Definition:L-Reihe einer elliptischen Kurve

Zu einer elliptischen Kurve ${}E$ über ${}\mathbb {Q}$ in ganzzahliger Darstellung definiert man die ${}L$-Reihe unter Verwendung der Definition 26.11 durch

${}L(E,s)=\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}\,.$

Definition:Modulfunktion

Es sei ${}k\in \mathbb {Z}$. Eine meromorphe Funktion ${}f\colon {\mathbb {H} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ auf der oberen Halbebene ${}{\mathbb {H} }$ heißt Modulfunktion vom Gewicht ${}k$, wenn

${}f(Mz)=(cz+d)^{k}f(z)\,$

für alle

${}M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\,$

gilt und wenn ${}f$ meromorph in ${}\infty$ ist.

Definition:Modulform

Eine Modulfunktion ${}f\colon {\mathbb {H} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ auf der oberen Halbebene ${}{\mathbb {H} }$ vom Gewicht ${}k$ heißt Modulform, wenn sie holomorph in ${}{\mathbb {H} }$ und holomorph in ${}\infty$ ist.

Definition:Hauptkongruenzgruppe

Es sei ${}N\in \mathbb {N}$. Die Untergruppe

$\Gamma (N)={\left\{M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\mid M=E_{2}\mod N\right\}}={\left\{M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\mid a,d=1\mod N,\,b,c=0\mod N\right\}}\subseteq \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\,$

heißt Hauptkongruenzgruppe zur Stufe ${}N$.