Kurs:Experimentalphysik 1/Aufgaben

Aufgaben für den Kurs Experimentalphysik 1

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Gauß'sches Fehlerfortpflanzungsgesetz - Die Erste

Kurze Vorbemerkung: Diese und die nächste Aufgabe sind nicht übermäßig wichtig (da nicht besondes anwendungsbezogen) für das weitere Verständnis des Kurses und sollen nur beispielhaft zeigen, welches maximale Niveau in dem Kurs angestrebt wird.

Gegeben sei eine Funktion

$f(x_{1},x_{2})=Kx_{1}-x_{2}\;,$

wobei $K$ eine Konstante ist. Man zeige mit Hilfe des Gauß'schen Fehlerfortpflanzungsgesetz (05), daß für den absoluten Fehler von $f$ folgendes gilt:

$\Delta f={\sqrt {(K\Delta x_{1})^{2}+(\Delta x_{2})^{2}}}\;\;.$

Gauß'sches Fehlerfortpflanzungsgesetz - Die Zweite

Gegeben sei nun eine Funktion $f(x_{1},x_{2})=K{x_{1}}^{a}{x_{2}}^{-b}\;$, wobei $K,\,a,\,b$ dimensionslose Konstanten sind. Man zeige mit Hilfe des Gauß'schen Fehlerfortpflanzungsgesetz (05), daß für den relativen Fehler von $f$ folgendes gilt:

${\frac {\Delta f}{f}}={\sqrt {\left(a{\frac {\Delta x_{1}}{x_{1}}}\right)^{2}+\left(b{\frac {\Delta x_{2}}{x_{2}}}\right)^{2}}}\;\;.$

Brunnen

Jemand läßt einen Stein in einen Brunnen fallen und hört diesen nach genau drei Sekunden ins Wasser eintauchen. Wie tief ist der Brunnen?

Allgemeine Bewegung

Ein Massepunkt bewegt sich längs der $x$-Achse mit der Beschleunigung $a=-kv^{3}$ ($k>0$ ist eine Konstante). Die Geschwindigkeit sei wie gewohnt mit $v$ bezeichnet. Randbedingungen seien $x(0)=0$ und $v(0)=u$, wobei $u$ eine Konstante sei. Zeige, dass gilt:

$v={\frac {u}{1+kux}}\quad {\mbox{und}}\quad t={\frac {kx^{2}}{2}}+{\frac {x}{u}}\;\;.$

(Hinweis: Zeige zunächst, dass in diesem Fall $a=v{\frac {{\rm {d}}v}{{\rm {d}}x}}$ gilt.)

Schiefer Wurf 1

Man zeige, daß für die Wurfweite $s$ beim schiefen Wurf aus der Höhe $h$ mit dem Abwurfwinkel $\varphi$ und (dem Betrag) der Anfangsgeschwindigkeit $v_{0}$ auch folgende Darstellung gültig ist.

$s={\frac {v_{0}^{2}\cdot \cos \varphi \cdot \sin \varphi }{g}}\left(1+{\sqrt {1+{\frac {2gh}{v_{0}^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}\right)\;\;.$

Schiefer Wurf 2

Man beweise, daß für den Winkel, unter dem die maximale Wurfweite beim schiefen Wurf (Abwurfhöhe $h$, Betrag der Anfangsgeschwindigkeit $v_{0}$) erreicht wird

$\sin \varphi _{\rm {max}}={\frac {v_{0}}{\sqrt {2v_{0}^{2}+2gh}}}$

gilt.

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