Beispiele für den Kurs Experimentalphysik 1

Die folgenden Aufgabenbeispiele sind mit Lösungen und dienen als kleine Hilfestellung für die eigentlichen Aufgaben.

Eiffelturm

Der Eiffelturm befindet sich auf 49° nördlicher Breite. Wenn ein Gegenstand von der Spitze fallen gelassen wird, 300 Meter über dem Boden, wo trifft er dann am Boden auf? (Relativ zu dem Punkt, an dem der Gegenstand losgelassen worden ist.)

L ö s u n g . Es gilt für die Höhe nach der Zeit $t$

$h=-{\frac {1}{2}}gt^{2}+h_{0}\;,\quad h_{0}=300\,{\rm {m}}\;\;.$

Daraus ergibt sich für die Zeit bis zum Aufschlag ( $h=0$ )

$t={\sqrt {\frac {2h_{0}}{g}}}\;\;.$

Ist $T=24\cdot 3600\,{\rm {s}}$ die Dauer eines Tages, so dreht sich die Erde während des Falls um einen Winkel von

$\varphi ={\frac {t}{T}}\cdot 360\,{\mbox{Grad}}\;\;.$

Bei einer nördlichen Breite von 49° entspricht dies einer Strecke von

$s={\frac {t}{T}}\cdot 2\pi \cdot r_{e}\cdot \cos 49\,{\mbox{Grad}}\;\;.$

Dabei ist $r_{e}=6398\,{\rm {km}}$ der Erdradius. Der Gegenstand hat beim Abwurf keine Geschwindigkeit in vertikaler Richtung aber bezogen auf den Erdmittelpunkt eine Geschwindigkeitskomponente in Richtung Osten (denn die Erde dreht sich von Westen nach Osten, wo wir die Sonne aufgehen sehen können). Diese Geschwindigkeit beträgt

$v={\frac {2\pi \cdot (r_{e}+h_{0})\cdot \cos 49\,{\mbox{Grad}}}{T}}\;\;.$

Da die Bahn des Gegenstands weiter aussen liegt, hat sie eine höhere Geschwindigkeit in Richtung Osten als die Erdoberfläche. Deshalb schlägt der Gegenstand etwas westlich vom Lotfusspunkt des Abwurfpunktes auf und zwar im Abstand von

$v\cdot t-s=2\pi \cdot (r_{e}+h_{0})\cdot \cos 49\,{\mbox{Grad}}\cdot {\frac {t}{T}}-{\frac {t}{T}}\cdot 2\pi \cdot r_{e}\cdot \cos 49\,{\mbox{Grad}}=2\pi \cos 49\,{\mbox{Grad}}\cdot {\frac {t}{T}}\cdot \left(r_{e}+h_{0}-r_{e}\right)=$

$=2\pi \cos 49\,{\mbox{Grad}}\cdot {\frac {t}{T}}\cdot h_{0}=2\pi \cos 49\,{\mbox{Grad}}\cdot {\frac {1}{T}}\cdot {\sqrt {\frac {2h_{0}}{g}}}\cdot h_{0}=$

$=2\pi \cos 49\,{\mbox{Grad}}\cdot {\frac {1}{24\cdot 3600\,{\rm {s}}}}\cdot {\sqrt {\frac {2\cdot 300\,{\rm {m}}}{9{,}81\,{\rm {ms}}^{-2}}}}\cdot 300\,{\rm {m}}=0{,}11\,{\rm {m}}\;\;.$

Zentripetalbeschleunigung

Dieses Beispiel soll eine kurze Anwendung der Definitionen von Geschwindigkeit und Beschleunigung sein:

Man berechne den Betrag der Zentripetalbeschleunigung, also der Beschleunigung, die bei einer Kreisbewegung eines Massenpunktes zum Mittelpunkt zeigt, um diesen auf der Kreisbahn zu halten.

L ö s u n g . Zunächst beschreiben wir die Kreisbewegung durch

${\vec {r}}(t)=\left({\begin{array}{c}x\cos(\omega t)\\y\sin(\omega t)\end{array}}\right)\;\;.$

Dabei ist der Kreis durch die Gleichung $r^{2}=x^{2}+y^{2}$ gegeben und wird mit der Kreisfrequenz $\omega =2\pi f$ umlaufen. Es ergibt sich für die Geschwindigkeit

${\dot {\vec {r}}}(t)=\left({\begin{array}{c}-x\omega \sin(\omega t)\\y\omega \cos(\omega t)\end{array}}\right)$

und für die Beschleunigung

${\ddot {\vec {r}}}(t)=\left({\begin{array}{c}-x\omega ^{2}\cos(\omega t)\\-y\omega ^{2}\sin(\omega t)\end{array}}\right)\;\;.$

Daraus ergibt sich für deren Betrag

$\left|{\ddot {\vec {r}}}(t)\right|={\sqrt {(x\omega ^{2}\cos(\omega t))^{2}+(y\omega ^{2}\sin(\omega t))^{2}}}={\sqrt {\omega ^{4}(x^{2}+y^{2})}}=r\omega ^{2}\;\;.$

StudentT