Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten

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Diese Lerneinheit behandelt Singularitäten von komplexer Funktionen. Für Singularitäten in der reellen Analysis bezeichnet man als Definitionslücke. In der komplexen Analysis habe die Singularitäten eine besondere Bedeutung für den Wert von Wegintegralen. Beim Residuensatz werden wir feststellen, dass nur die Koeffizienten der Laurentreihen vor $(z-z_{o})^{-1}$ einen echten Beitrag zum Wegintegral liefern kann. Die Integration anderen Summanden aus der Laurentreihe liefern 0 als Beitrag zum Wegintegral. Um diesen Residuensatz beweisen zu können, müssen Singularität zunächst klassifiziert werden.

Einführung

Isolierte Singularitäten werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie betrachtet. Isolierte Singularitäten sind besondere isolierte Punkte in der Quellmenge einer holomorphen Funktion. Man unterscheidet bei isolierten Singularitäten zwischen hebbaren Singularitäten, Polstellen und wesentlichen Singularitäten.

Definition

Es sei $\Omega \subseteq \mathbb {C}$ eine offene Teilmenge, $z_{0}\in \Omega$ . Ferner sei $f\colon \Omega \setminus \{z_{0}\}\to \mathbb {C}$ eine holomorphe komplexwertige Funktion. Dann heißt $z_{0}$ isolierte Singularität von $f$ .

Klassifizierung

Jede isolierte Singularität gehört einer der folgenden drei Klassen an:

Der Punkt $z_{0}$ heißt hebbare Singularität, wenn $f$ auf $\Omega$ holomorph fortsetzbar ist. Nach dem riemannschen Hebbarkeitssatz ist dies z. B. dann der Fall, wenn $f$ in einer Umgebung von $z_{0}$ beschränkt ist.
Der Punkt $z_{0}$ heißt Polstelle oder Pol, wenn $z_{0}$ keine hebbare Singularität ist und es eine natürliche Zahl $k$ gibt, sodass $(z-z_{0})^{k}\cdot f(z)$ eine hebbare Singularität bei $z_{0}$ hat. Ist das $k$ minimal gewählt, dann sagt man, $f$ habe in $z_{0}$ einen Pol $k$ -ter Ordnung.
Andernfalls heißt $z_{0}$ eine wesentliche Singularität von $f$ .

Isolierte Singularitäten und die Laurentreihe

Der Typ der Singularität lässt sich auch an der Laurentreihe

\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}

von $f$ in $z_{0}$ ablesen.

Hebbare Singularitäten und die Laurentreihe

Eine hebbare Singularität liegt genau dann vor, wenn der Hauptteil verschwindet, d. h. $a_{n}=0$ für alle negativen ganzen Zahlen $n$

\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}

von $f$ in $z_{0}$ ablesen.

Polstelle und die Laurentreihe

Ein Pol $k$ -ter Ordnung liegt genau dann vor, wenn der Hauptteil nach $k$ Gliedern abbricht, d. h. $a_{-k}\neq 0$ und $a_{n}=0$ für alle $n<-k$ .

Wesentliche Singularität und die Laurentreihe

Eine wesentliche Singularität liegt genau dann vor, wenn unendlich viele Glieder mit negativem Exponenten nicht verschwinden.

Aussagen über die Eigenschaften holomorpher Funktionen an wesentlichen Singularitäten machen der Große Satz von Picard und als einfacherer Spezialfall davon der Satz von Casorati-Weierstraß.

Beispiele

Plot der Funktion $\exp(1/z)$ . Sie hat im Nullpunkt eine wesentliche Singularität (Bildmitte). Der Farbton entspricht dem komplexen Argument des Funktionswertes, während die Helligkeit seinen Betrag darstellt. Hier sieht man, dass sich die wesentliche Singularität unterschiedlich verhält, je nachdem, wie man sich ihr nähert (im Gegensatz dazu wäre ein Pol gleichmäßig weiß).

Eigenschaften

Es sei $\Omega =\mathbb {C}$ und $z_{0}=0.$

$f\colon \Omega \setminus \{0\}\to \mathbb {C} ,\,z\mapsto {\tfrac {\sin(z)}{z}}$ kann durch $f(0)=1$ stetig auf $\Omega$ fortgesetzt werden, also hat $f$ bei $0$ eine hebbare Singularität.
$f\colon \Omega \setminus \{0\}\to \mathbb {C} ,\,z\mapsto {\tfrac {1}{z}}$ hat bei $0$ einen Pol erster Ordnung, weil $g(z)=z^{1}\cdot f(z)$ durch $g(0)=1$ stetig auf $\Omega$ fortgesetzt werden kann.
$f\colon \Omega \setminus \{0\}\to \mathbb {C} ,\,z\mapsto \exp \left({\tfrac {1}{z}}\right)$ hat bei $0$ eine wesentliche Singularität, weil $z^{k}\exp \left({\tfrac {1}{z}}\right)$ für $z\to 0$ für festes $k\in \mathbb {N}$ stets unbeschränkt ist, beziehungsweise weil in der Laurentreihe um $z_{0}$ unendlich viele Glieder des Hauptteils nicht verschwinden, denn es gilt