Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 15/latex
\setcounter{section}{15}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der Satz von Liouville nicht für eine offene Kreisscheibe gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die punktierte komplexe Ebene
\mathl{{\mathbb C} \setminus \{0\}}{} und die punktierte
\definitionsverweis {offene Kreisscheibe}{}{}
\mathl{U { \left( 0,1 \right) } \setminus \{0\}}{} nicht
\definitionsverweis {biholomorph}{}{}
zueinander sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise den Fundamentalsatz der Algebra direkt mit dem Maximumsprinzip.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathl{P,Q}{} zwei komplexe
\zusatzklammer {bzw. reelle} {} {}
Polynome und
\maabbeledisp {\varphi} {{\mathbb K}^2} {{\mathbb K}^2
} {(x,y)} {(P(x,y),Q(x,y))
} {,}
die zugehörige Abbildung. Die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
der
\definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{}
zu $\varphi$ sei in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb K}^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $0$ verschieden.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb K}
}
{ = }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Determinante konstant ist.
} {Zeige durch ein Beispiel, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb K}
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Determinante nicht konstant sein muss.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei \maabb {f} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {} eine \definitionsverweis {ganze Funktion}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} von $f$ \definitionsverweis {dicht}{}{} in ${\mathbb C}$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den lokalen Exponenten im Sinne von
Satz 15.5
der Funktion
\maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {z} {z^k
} {,}
in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den lokalen Exponenten im Sinne von
Satz 15.5
der
\definitionsverweis {komplexen Exponentialfunktion}{}{}
\maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {z} { \exp z
} {,}
in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
Zu einer nichtkonstanten
\definitionsverweis {holomorphen Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
auf einem
\definitionsverweis {Gebiet}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nennt man dasjenige $k$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(P)
}
{ =} { f'(P)
}
{ =} { f^{\prime \prime} (P)
}
{ =} { \ldots
}
{ =} { f^{(k-1)} (P)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { 0
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^{(k)} (P)
}
{ \neq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionswort {Nullstellenordnung}{}
von $f$ in $P$.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gebiet}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und sei
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
nicht konstant. Zeige, dass der
\definitionsverweis {lokale Exponent}{}{}
von $f$ in $P$ mit der
\definitionsverweis {Nullstellenordnung}{}{}
von $f - f(P)$ in $P$ übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {lokalen Exponenten}{}{}
eines Polynoms
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { { \left( z-a_1 \right) }^{k_1} \cdots { \left( z-a_m \right) }^{k_m}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit verschiedenen $a_i$} {} {}
in den Punkten
\mathl{a_1,a_2 , \ldots , a_m}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {lokalen Exponenten}{}{}
eines Polynoms $f$, dessen Ableitung durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(z)
}
{ =} { { \left( z-a_1 \right) }^{r_1} \cdots { \left( z-a_m \right) }^{r_m}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit verschiedenen $a_i$} {} {}
gegeben ist, in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine nichtkonstante
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{.}
Zeige, dass die Menge der Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
für die der
\definitionsverweis {lokale Exponent}{}{}
$\geq 2$ ist,
\definitionsverweis {diskret}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine nichtkonstante
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {lokale Exponent}{}{}
$k$ von $f$ im Punkt $P$ mit der
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
von $f- f(0)$ in
\definitionsverweis {Ring der konvergenten Potenzreihen}{}{}
\mathl{{\mathbb C} \langle \! \langle T-P \rangle \!\rangle }{} übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und
\maabb {\varphi} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine nichtkonstante
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi (P)
}
{ = }{ Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei $k$ der
\definitionsverweis {lokale Exponent}{}{}
von $\varphi$ im Punkt $P$ und sei
\maabbdisp {\varphi^*} { {\mathbb C} \langle \! \langle S-Q \rangle \!\rangle } {{\mathbb C} \langle \! \langle T-P \rangle \!\rangle
} {}
der zugehörige Ringhomomorphismus zwischen den
\definitionsverweis {konvergenten Potenzreihenringen}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} { \left( \varphi(h) \right) }
}
{ =} { k \operatorname{ord} { \left( h \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h
}
{ \in }{ {\mathbb C} \langle \! \langle S-Q \rangle \!\rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\maabb {f} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {ganze Funktion}{}{.}
Es gelte eine Abschätzung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(z) }
}
{ \leq} { a \betrag { z }^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $z$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { z }
}
{ \geq }{ B
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $f$ eine Polynomfunktion vom Grad $\leq n$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme den lokalen Exponenten im Sinne von
Satz 15.5
der
\definitionsverweis {komplexen Sinusfunktion}{}{}
\maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {z} { \sin z
} {,}
in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine nichtkonstante
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{.}
Zeige, dass es zu jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ V
}
{ \subseteq }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass die Anzahl der Punkte in den
\definitionsverweis {Fasern}{}{}
$f^{-1}(Q)$ zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \neq }{ P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
konstant ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4 (2+2)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und seien
\maabb {f,g} {U} { {\mathbb C}
} {,}
nichtkonstante
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{,}
deren
\definitionsverweis {lokaler Exponent}{}{}
gleich
\mathkor {} {k} {bzw.} {\ell} {}
sei.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass der lokale Exponent von $f+g$ zumindest
\mathl{\operatorname{min} \left( k ,\, \ell \right)}{} ist
\zusatzklammer {es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f+g
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
} {Zeige, dass der lokale Exponent von $f \cdot g$ zwischen
\mathkor {} {\operatorname{min} \left( k ,\, \ell \right)} {und} {k + \ell} {}
liegt.
}
}
{} {}