Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 16/latex
\setcounter{section}{16}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das Produkt der
\definitionsverweis {Laurent-Polynome}{}{}
\mathdisp {{ \left( 4 z^{-2} +6z^{-1} +5 -3z+z^2 \right) } { \left( 4 z^{-3}+3z^{-2} +5z^{-1} -2 +4z \right) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass man jedes
\definitionsverweis {Laurent-Polynom}{}{}
$F$ über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ in der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F
}
{ =} { { \frac{ G }{ Z^n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \in }{ K[Z]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {Laurent-Polynome}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ \zusatzklammer {mit der natürlichen Addition und Multiplikation} {} {} ein Zwischenring zwischen dem \definitionsverweis {Polynomring}{}{} $K[Z]$ und dem \definitionsverweis {Körper der rationalen Funktionen}{}{} $K(Z)$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Ist die \anfuehrung{Umentwicklung}{} eines \definitionsverweis {Laurent-Polynoms}{}{} wieder ein Laurent-Polynom?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme den Ort, wo die
\definitionsverweis {Laurent-Reihe}{}{}
\mathl{\sum_{n = 0}^\infty z^{-n}}{} konvergiert und welche Funktion sie darstellt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Laurent-Reihe}{}{}
\mathl{\sum_{n \in \Z} z^n}{} in keinem Punkt konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne
\definitionsverweis {Laurent-Reihe}{}{}
\mathl{\sum_{n \in \Z} { \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } \right) }^{ \betrag { n } } z^n}{} für die Punkte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z
}
{ =} { 1, { \frac{ 3 }{ 2 } }, { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{\sum_{n \in \Z_-} c_n z^n}{} eine
\definitionsverweis {Laurent-Reihe}{}{}
zu ausschließlich negativen Indizes und es gebe ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z_0
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die Reihe
\mathl{\sum_{n \in \Z_-} c_n z_0^n}{}
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{\sum_{n \in \Z_-} c_n z^n}{} für $z \rightarrow \infty$ gegen $0$ konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Laurent-Reihe}{}{}
der Ableitung einer auf einem
\definitionsverweis {Kreisring}{}{}
definierten
\definitionsverweis {holomorphen Funktion}{}{}
$f$ durch die formale Ableitung der beschreibenden Laurent-Reihe zu
\mathl{f}{} gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es keine auf einer punktierten Kreisscheibe konvergente
\definitionsverweis {Laurent-Reihe}{}{}
gibt, deren Ableitung gleich
\mathl{{ \frac{ 1 }{ z } }}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $\sum_{n \in \Z} c_nz^n$ die
\definitionsverweis {Laurent-Reihe}{}{}
einer auf einem
\definitionsverweis {Kreisring}{}{}
definierten
\definitionsverweis {holomorphen Funktion}{}{}
$f$ und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_{-1}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass man durch gliedweises integrieren eine Laurent-Reihe erhält, deren Ableitung gleich
\mathl{f}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {f} { {\mathbb C} \setminus \{P_1 , \ldots , P_n \} } { {\mathbb C} } {} eine \definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{.} Zeige, dass es maximale $n+1$ Kreisringe mit Mittelpunkt $0$ derart gibt, dass $f$ auf diesen Kreisringen jeweils durch eine \definitionsverweis {Laurent-Reihe}{}{} mit Entwicklungspunkt $0$ beschrieben wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Laurent-Reihen}{}{}
für die maximal möglichen Kreisringe mit Mittelpunkt $0$ für die
\definitionsverweis {rationale Funktion}{}{}
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 1-z } }}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Laurent-Reihen}{}{}
für die maximal möglichen Kreisringe mit Mittelpunkt $0$ für die
\definitionsverweis {rationale Funktion}{}{}
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 1-z^2 } }}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne das Produkt der
\definitionsverweis {Laurent-Polynome}{}{}
\mathdisp {{ \left( 3 z^{-2} +6 { \mathrm i} z^{-1} +4- { \mathrm i} +7z \right) } { \left( 5 z^{-3}- { \mathrm i}z^{-2} +4z^{-1} +1 -2 { \mathrm i} +5z + { \left( 1- { \mathrm i} \right) }z^2 \right) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {rationale Funktion}{}{,}
die durch die
\definitionsverweis {Laurent-Reihe}{}{}
\mathl{\sum_{n \in \Z} { \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } \right) }^{ \betrag { n } } z^n}{} beschrieben wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Laurent-Reihen}{}{}
für die maximal möglichen Kreisringe mit Mittelpunkt $0$ für die
\definitionsverweis {rationale Funktion}{}{}
\mathl{{ \frac{ 1 }{ z^3-3z^2+2z } }}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass die punktierte komplexe Ebene
\mathl{{\mathbb C} \setminus \{0\}}{} und der nach außen unbeschränkte
\definitionsverweis {Kreisring}{}{}
\mathl{{\mathbb C} \setminus B \left( 0,1 \right)}{} nicht
\definitionsverweis {biholomorph}{}{}
zueinander sind.
}
{} {}