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Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 16/latex

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\setcounter{section}{16}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne das Produkt der \definitionsverweis {Laurent-Polynome}{}{}
\mathdisp {{ \left( 4 z^{-2} +6z^{-1} +5 -3z+z^2 \right) } { \left( 4 z^{-3}+3z^{-2} +5z^{-1} -2 +4z \right) }} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass man jedes \definitionsverweis {Laurent-Polynom}{}{} $F$ über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ in der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F }
{ =} { { \frac{ G }{ Z^n } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit einem Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \in }{ K[Z] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} schreiben kann.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {Laurent-Polynome}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ \zusatzklammer {mit der natürlichen Addition und Multiplikation} {} {} ein Zwischenring zwischen dem \definitionsverweis {Polynomring}{}{} $K[Z]$ und dem \definitionsverweis {Körper der rationalen Funktionen}{}{} $K(Z)$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Ist die \anfuehrung{Umentwicklung}{} eines \definitionsverweis {Laurent-Polynoms}{}{} wieder ein Laurent-Polynom?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme den Ort, wo die \definitionsverweis {Laurent-Reihe}{}{}
\mathl{\sum_{n = 0}^\infty z^{-n}}{} konvergiert und welche Funktion sie darstellt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Laurent-Reihe}{}{}
\mathl{\sum_{n \in \Z} z^n}{} in keinem Punkt konvergiert.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne \definitionsverweis {Laurent-Reihe}{}{}
\mathl{\sum_{n \in \Z} { \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } \right) }^{ \betrag { n } } z^n}{} für die Punkte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z }
{ =} { 1, { \frac{ 3 }{ 2 } }, { \mathrm i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{\sum_{n \in \Z_-} c_n z^n}{} eine \definitionsverweis {Laurent-Reihe}{}{} zu ausschließlich negativen Indizes und es gebe ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z_0 }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass die Reihe
\mathl{\sum_{n \in \Z_-} c_n z_0^n}{} \definitionsverweis {konvergiert}{}{.} Zeige, dass
\mathl{\sum_{n \in \Z_-} c_n z^n}{} für $z \rightarrow \infty$ gegen $0$ konvergiert.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Laurent-Reihe}{}{} der Ableitung einer auf einem \definitionsverweis {Kreisring}{}{} definierten \definitionsverweis {holomorphen Funktion}{}{} $f$ durch die formale Ableitung der beschreibenden Laurent-Reihe zu
\mathl{f}{} gegeben ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es keine auf einer punktierten Kreisscheibe konvergente \definitionsverweis {Laurent-Reihe}{}{} gibt, deren Ableitung gleich
\mathl{{ \frac{ 1 }{ z } }}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $\sum_{n \in \Z} c_nz^n$ die \definitionsverweis {Laurent-Reihe}{}{} einer auf einem \definitionsverweis {Kreisring}{}{} definierten \definitionsverweis {holomorphen Funktion}{}{} $f$ und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_{-1} }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass man durch gliedweises integrieren eine Laurent-Reihe erhält, deren Ableitung gleich
\mathl{f}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} { {\mathbb C} \setminus \{P_1 , \ldots , P_n \} } { {\mathbb C} } {} eine \definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{.} Zeige, dass es maximale $n+1$ Kreisringe mit Mittelpunkt $0$ derart gibt, dass $f$ auf diesen Kreisringen jeweils durch eine \definitionsverweis {Laurent-Reihe}{}{} mit Entwicklungspunkt $0$ beschrieben wird.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Laurent-Reihen}{}{} für die maximal möglichen Kreisringe mit Mittelpunkt $0$ für die \definitionsverweis {rationale Funktion}{}{}
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 1-z } }}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Laurent-Reihen}{}{} für die maximal möglichen Kreisringe mit Mittelpunkt $0$ für die \definitionsverweis {rationale Funktion}{}{}
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 1-z^2 } }}{.}

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{3}
{

Berechne das Produkt der \definitionsverweis {Laurent-Polynome}{}{}
\mathdisp {{ \left( 3 z^{-2} +6 { \mathrm i} z^{-1} +4- { \mathrm i} +7z \right) } { \left( 5 z^{-3}- { \mathrm i}z^{-2} +4z^{-1} +1 -2 { \mathrm i} +5z + { \left( 1- { \mathrm i} \right) }z^2 \right) }} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {rationale Funktion}{}{,} die durch die \definitionsverweis {Laurent-Reihe}{}{}
\mathl{\sum_{n \in \Z} { \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } \right) }^{ \betrag { n } } z^n}{} beschrieben wird.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Laurent-Reihen}{}{} für die maximal möglichen Kreisringe mit Mittelpunkt $0$ für die \definitionsverweis {rationale Funktion}{}{}
\mathl{{ \frac{ 1 }{ z^3-3z^2+2z } }}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass die punktierte komplexe Ebene
\mathl{{\mathbb C} \setminus \{0\}}{} und der nach außen unbeschränkte \definitionsverweis {Kreisring}{}{}
\mathl{{\mathbb C} \setminus B \left( 0,1 \right)}{} nicht \definitionsverweis {biholomorph}{}{} zueinander sind.

}
{} {}