Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 16

Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne das Produkt der Laurent-Polynome

${\left(4z^{-2}+6z^{-1}+5-3z+z^{2}\right)}{\left(4z^{-3}+3z^{-2}+5z^{-1}-2+4z\right)}.$

Aufgabe

Zeige, dass man jedes Laurent-Polynom ${}F$ über einem Körper ${}K$ in der Form

${}F={\frac {G}{Z^{n}}}\,$

mit einem Polynom ${}G\in K[Z]$ und einem ${}n\in \mathbb {N}$ schreiben kann.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der Laurent-Polynome über einem Körper ${}K$ (mit der natürlichen Addition und Multiplikation) ein Zwischenring zwischen dem Polynomring ${}K[Z]$ und dem Körper der rationalen Funktionen ${}K(Z)$ ist.

Aufgabe

Ist die „Umentwicklung“ eines Laurent-Polynoms wieder ein Laurent-Polynom?

Aufgabe *

Bestimme den Ort, wo die Laurent-Reihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }z^{-n}$ konvergiert und welche Funktion sie darstellt.

Aufgabe

Zeige, dass die Laurent-Reihe ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }z^{n}$ in keinem Punkt konvergiert.

Aufgabe

Berechne Laurent-Reihe ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{\vert {n}\vert }z^{n}$ für die Punkte

${}z=1,{\frac {3}{2}},{\mathrm {i} }\,.$

Aufgabe

Es sei ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} _{-}}c_{n}z^{n}$ eine Laurent-Reihe zu ausschließlich negativen Indizes und es gebe ein ${}z_{0}\neq 0$ derart, dass die Reihe ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} _{-}}c_{n}z_{0}^{n}$ konvergiert. Zeige, dass ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} _{-}}c_{n}z^{n}$ für ${}z\rightarrow \infty$ gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgabe

Zeige, dass die Laurent-Reihe der Ableitung einer auf einem Kreisring definierten holomorphen Funktion ${}f$ durch die formale Ableitung der beschreibenden Laurent-Reihe zu ${}f$ gegeben ist.

Aufgabe

Zeige, dass es keine auf einer punktierten Kreisscheibe konvergente Laurent-Reihe gibt, deren Ableitung gleich ${}{\frac {1}{z}}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}z^{n}$ die Laurent-Reihe einer auf einem Kreisring definierten holomorphen Funktion ${}f$ und es sei ${}c_{-1}=0$. Zeige, dass man durch gliedweises integrieren eine Laurent-Reihe erhält, deren Ableitung gleich ${}f$ ist.

Aufgabe

Es sei

$f\colon {\mathbb {C} }\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{n}\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine holomorphe Funktion. Zeige, dass es maximale ${}n+1$ Kreisringe mit Mittelpunkt ${}0$ derart gibt, dass ${}f$ auf diesen Kreisringen jeweils durch eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt ${}0$ beschrieben wird.

Aufgabe *

Bestimme die Laurent-Reihen für die maximal möglichen Kreisringe mit Mittelpunkt ${}0$ für die rationale Funktion ${}{\frac {1}{1-z}}$.

Aufgabe

Bestimme die Laurent-Reihen für die maximal möglichen Kreisringe mit Mittelpunkt ${}0$ für die rationale Funktion ${}{\frac {1}{1-z^{2}}}$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das Produkt der Laurent-Polynome

${\left(3z^{-2}+6{\mathrm {i} }z^{-1}+4-{\mathrm {i} }+7z\right)}{\left(5z^{-3}-{\mathrm {i} }z^{-2}+4z^{-1}+1-2{\mathrm {i} }+5z+{\left(1-{\mathrm {i} }\right)}z^{2}\right)}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die rationale Funktion, die durch die Laurent-Reihe ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{\vert {n}\vert }z^{n}$ beschrieben wird.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Laurent-Reihen für die maximal möglichen Kreisringe mit Mittelpunkt ${}0$ für die rationale Funktion ${}{\frac {1}{z^{3}-3z^{2}+2z}}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die punktierte komplexe Ebene ${}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ und der nach außen unbeschränkte Kreisring ${}{\mathbb {C} }\setminus B\left(0,1\right)$ nicht biholomorph zueinander sind.