Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 16

Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne das Produkt der Laurent-Polynome

$(4z^{-2}+6z^{-1}+5-3z+z^2)(4z^{-3}+3z^{-2}+5z^{-1}-2+4z).$

Aufgabe

Zeige, dass man jedes Laurent-Polynom $F$ über einem Körper $K$ in der Form

$F=\frac{G}{Z^n}$

mit einem Polynom  $G\in K[Z]$  und einem  $n\in \mathbb{N}$  schreiben kann.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der Laurent-Polynome über einem Körper $K$ (mit der natürlichen Addition und Multiplikation) ein Zwischenring zwischen dem Polynomring $K[Z]$ und dem Körper der rationalen Funktionen $K(Z)$ ist.

Aufgabe

Ist die „Umentwicklung“ eines Laurent-Polynoms wieder ein Laurent-Polynom?

Aufgabe *

Bestimme den Ort, wo die Laurent-Reihe $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^{-n}$ konvergiert und welche Funktion sie darstellt.

Aufgabe

Zeige, dass die Laurent-Reihe $\sum _{n\in \mathbb{Z}}{z}^n$ in keinem Punkt konvergiert.

Aufgabe

Berechne Laurent-Reihe $\sum _{n\in \mathbb{Z}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{|n|}{z}^n$ für die Punkte

$z=1,\frac{3}{2},\mathrm{i}.$

Aufgabe

Es sei $\sum _{n\in {\mathbb{Z}}_{-}}{c}_n{z}^n$ eine Laurent-Reihe zu ausschließlich negativen Indizes und es gebe ein  $z_0\ne 0$  derart, dass die Reihe $\sum _{n\in {\mathbb{Z}}_{-}}{c}_n{z}_0^n$ konvergiert. Zeige, dass $\sum _{n\in {\mathbb{Z}}_{-}}{c}_n{z}^n$ für $z\to \mathrm{\infty }$ gegen $0$ konvergiert.

Aufgabe

Zeige, dass die Laurent-Reihe der Ableitung einer auf einem Kreisring definierten holomorphen Funktion $f$ durch die formale Ableitung der beschreibenden Laurent-Reihe zu $f$ gegeben ist.

Aufgabe

Zeige, dass es keine auf einer punktierten Kreisscheibe konvergente Laurent-Reihe gibt, deren Ableitung gleich $\frac{1}{z}$ ist.

Aufgabe

Es sei $\sum _{n\in \mathbb{Z}}{c}_n{z}^n$ die Laurent-Reihe einer auf einem Kreisring definierten holomorphen Funktion $f$ und es sei  $c_{-1}=0$.  Zeige, dass man durch gliedweises integrieren eine Laurent-Reihe erhält, deren Ableitung gleich $f$ ist.

Aufgabe

Es sei

$f:ℂ\setminus \{P_1,\dots ,P_n\}⟶ℂ$

eine holomorphe Funktion. Zeige, dass es maximale $n+1$ Kreisringe mit Mittelpunkt $0$ derart gibt, dass $f$ auf diesen Kreisringen jeweils durch eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt $0$ beschrieben wird.

Aufgabe *

Bestimme die Laurent-Reihen für die maximal möglichen Kreisringe mit Mittelpunkt $0$ für die rationale Funktion $\frac{1}{1-z}$.

Aufgabe

Bestimme die Laurent-Reihen für die maximal möglichen Kreisringe mit Mittelpunkt $0$ für die rationale Funktion $\frac{1}{1-z^2}$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das Produkt der Laurent-Polynome

$(3z^{-2}+6\mathrm{i}{z}^{-1}+4-\mathrm{i}+7z)(5z^{-3}-\mathrm{i}{z}^{-2}+4z^{-1}+1-2\mathrm{i}+5z+(1-\mathrm{i})z^2).$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die rationale Funktion, die durch die Laurent-Reihe $\sum _{n\in \mathbb{Z}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{|n|}{z}^n$ beschrieben wird.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Laurent-Reihen für die maximal möglichen Kreisringe mit Mittelpunkt $0$ für die rationale Funktion $\frac{1}{z^3-3z^2+2z}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die punktierte komplexe Ebene $ℂ\setminus \{0\}$ und der nach außen unbeschränkte Kreisring $ℂ\setminus B(0,1)$ nicht biholomorph zueinander sind.