Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 19/latex
\setcounter{section}{19}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Residuum}{}{}
für die rationale Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ z^2-z } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Residuum}{}{}
für die rationale Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ =} { { \frac{ z^3-4z^2+2z+3 }{ z^2+5z-6 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $f$ eine
\definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{}
und $h$ eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
auf einer
\definitionsverweis {offenen Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Res}_{ P } \left( hf \right)
}
{ =} { h(P) \cdot \operatorname{Res}_{ P } \left( f \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $f$ eine
\definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{}
und $h$ eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
auf einer
\definitionsverweis {offenen Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Ordnung von $f$ in $P$ sei zumindest $-1$. Gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Res}_{ P } \left( hf \right)
}
{ =} { h(P) \cdot \operatorname{Res}_{ P } \left( f \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {h} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {ganze Funktion}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ \defeq} { h { \left( z^{-1} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Res}_{ 0 } \left( f \right)
}
{ =} { h'(0)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Residuum}{}{}
im Nullpunkt von
\aufzaehlungzwei {
\mathl{\sin \left( { \frac{ 1 }{ z } } \right)}{,}
} {
\mathl{{ \frac{ 1 }{ \sin z } }}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{}
auf ${\mathbb C}$, die im Punkt
\mathl{3+ { \mathrm i}}{} das
\definitionsverweis {Residuum}{}{}
\mathl{2 { \mathrm i}}{,} im Punkt
\mathl{2- \pi { \mathrm i}}{} das Residuum
\mathl{e- { \mathrm i}}{} und in allen weiteren Punkten das Residuum $0$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Intervall}{}{.}
Zu einer
\definitionsverweis {stetig differenzierbaren Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {I} {\R_+
} {}
heißt die Funktion
\mathdisp {\frac{f'}{f}} { }
die \stichwort {logarithmische Ableitung} {} von $f$. Zeige, dass die logarithmische Ableitung einen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {(C^1(I, \R_+), \cdot)} {(C^0(I, \R), +)
} {}
definiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{.}
Zu einer
\definitionsverweis {holomorphen Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {U} { {\mathbb C} \setminus \{0\}
} {}
heißt die Funktion
\mathdisp {{ \frac{ f' }{ f } }} { }
die
\definitionsverweis {logarithmische Ableitung}{}{}
von $f$. Zeige, dass die logarithmische Ableitung einen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {(C_{\mathbb C}^1(U, {\mathbb C} \setminus \{0\} ), \cdot)} { (C_{\mathbb C}^1(U, {\mathbb C} ), +)
} {}
definiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U,V
}
{ \subseteq }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und sei
\maabb {f} { U} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{.}
Auf $V$ besitze die Funktion
\mathl{{ \frac{ 1 }{ z } }}{} eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
\zusatzklammer {was
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \notin }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
voraussetzt} {} {,}
die wir mit
\mathl{\ln z}{} bezeichnen. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \ln f \right) }'
}
{ =} { { \frac{ f' }{ f } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und
\maabb {h} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ = }{ \exp h(z)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {logarithmische Ableitung}{}{}
von $f$ gleich $h'$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
mit der Eigenschaft, dass die
\definitionsverweis {logarithmische Ableitung}{}{}
von $f$ gleich $0$ ist. Zeige, dass dann die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
von $f$ gleich $0$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{.}
Charakterisiere die nullstellenfreien
\definitionsverweis {holomorphen Funktionen}{}{}
$f$ auf $U$ mit der Eigenschaft, dass ihre
\definitionsverweis {logarithmische Ableitung}{}{}
konstant gleich $1$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das \definitionsverweis {Residuum}{}{} des \definitionsverweis {Kotangens}{}{} im Nullpunkt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei ${\mathcal M}_P$ die Menge
\zusatzklammer {der Keime} {} {}
der
\definitionsverweis {meromorphen Funktionen}{}{,}
die in einer offenen Umgebung von $P$ definiert sind. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} ( {\mathcal M}_P \setminus \{0\} , \cdot,1 ) & \stackrel{ \text{ log. Abl. } }{\longrightarrow} & ({\mathcal M}_P,+,0) & \\ \!\!\!\!\! \operatorname{ord}_P \!\! \downarrow & & \downarrow \operatorname{Res}_P \!\!\! \!\!\!\!\! & \\ \Z & \stackrel{ }{\longrightarrow} & {\mathbb C} & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
von
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{}
vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Residuum}{}{}
der
\definitionsverweis {meromorphen Funktion}{}{}
\mathl{{ \left( h \circ \varphi \right) } \cdot \varphi'}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(z)
}
{ = }{ z^k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h(w)
}
{ = }{ w^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Nullpunkt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise
Lemma 19.11
für den Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ = }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einen einzigen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
Wir besprechen zwei Konzepte, Divisoren und Hauptteilverteilungen, die die Frage betreffen, ob man gewisse formale Vorgaben durch meromorphe Funktionen realisieren kann. In beiden Fällen ist es einfach, die Vorgaben lokal zu realisieren, und das Problem liegt darin, inwiefern es eine globale Lösung gibt.
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{.}
Man nennt eine formale Summe
\mathdisp {\sum_{x \in U} n_x \cdot x} { }
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n_x
}
{ \in }{\Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und der Eigenschaft, dass außerhalb einer
\definitionsverweis {diskreten Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subset }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n_x
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind, einen
\definitionswort {Divisor}{}
auf $U$.
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gebiet}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{}
auf $U$. Dann nennt man die formale Summe
\mathdisp {\sum_{x \in U} \operatorname{ord}_x(f) \cdot x} { }
den
\definitionswort {Hauptdivisor}{}
zu $f$. Er wird mit
\mathl{\operatorname{div} { \left( f \right) }}{} bezeichnet.
Es ist ein nichttrivialer Satz, dass man jeden Divisor als einen Hauptdivisor realisieren kann. Zu jeder vorgegebenen Ordnungsverteilung gibt es also eine meromorphe Funktion, die dieses Ordnungsverhalten besitzt
\zusatzklammer {auf allgemeineren riemannschen Flächen, also auf komplexen eindimensionalen Mannigfaltigkeiten, die nicht als eine offene Teilmenge von ${\mathbb C}$ gegeben sind, sieht dies völlig anders aus} {} {.}
Für eine endliche Trägermenge, wenn nur für endlich viele Punkte die vorgegebene Ordnung $\neq 0$ ist, ist die Aussage einfach zu beweisen.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und sei $D$ ein
\definitionsverweis {Divisor}{}{}
in $U$ mit einer endlichen Trägermenge. Zeige, dass
es eine
\definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{}
$f$ auf $U$ gibt, deren
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
gleich $D$ ist.
}
{} {}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{.}
Unter einer
\definitionswort {Hauptteilverteilung}{}
$T$ auf $U$ versteht man eine
\definitionsverweis {diskrete Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subseteq }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zusammen mit einem
\definitionsverweis {meromorphen Hauptteil}{}{}
$T_P$ für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und sei $f$ eine
\definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{}
auf $U$. Dann nennt man die Abbildung, die jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den
\definitionsverweis {meromorphen Hauptteil}{}{}
zu $f$ in $P$ zuordnet, die
\definitionswort {Hauptteilverteilung}{}
zu $f$.
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Residuum}{}{}
für die rationale Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ =} { { \frac{ z^2-4z+7 }{ z^3-5 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Residuum}{}{}
von
\mathl{{ \frac{ z }{ \sin z } }}{} für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{}
auf ${\mathbb C}$, die im Punkt
\mathl{2 -7 { \mathrm i}}{} das
\definitionsverweis {Residuum}{}{}
\mathl{4-3 { \mathrm i}}{,} im Punkt
\mathl{4- 5 { \mathrm i}}{} das Residuum
\mathl{1+2 { \mathrm i}}{} und in allen weiteren Punkten das Residuum $0$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(z)
}
{ =} { z+z^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h(w)
}
{ =} { w^{-1} + w^{-2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Berechne explizit
\zusatzklammer {durch Einsetzen, Invertieren, Ausmultiplizieren} {} {} das
\definitionsverweis {Residuum}{}{}
von
\mathdisp {{ \left( h \circ \varphi \right) } \cdot \varphi'} { }
im Nullpunkt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und sei $T$ eine
\definitionsverweis {Hauptteilverteilung}{}{}
in $U$ mit einer endlichen Trägermenge. Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{}
$f$ auf $U$ derart gibt, dass ihre
\definitionsverweis {zugehörige Hauptteilverteilung}{}{}
gleich $T$ ist.
}
{} {}
Die vorstehende Aussage gilt auch, wenn die Trägermenge nicht endlich ist, ist aber deutlich schwieriger zu beweisen, siehe Aufgabe 24.15.