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Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 19

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Übungsaufgaben

Bestimme das Residuum für die rationale Funktion

in jedem Punkt .



Bestimme das Residuum für die rationale Funktion

in jedem Punkt .



Es sei eine meromorphe Funktion und eine holomorphe Funktion auf einer offenen Teilmenge und sei . Gilt



Es sei eine meromorphe Funktion und eine holomorphe Funktion auf einer offenen Teilmenge und sei . Die Ordnung von in sei zumindest . Gilt



Es sei

eine ganze Funktion und sei

Zeige



Bestimme das Residuum im Nullpunkt von

  1. ,
  2. .



Bestimme eine meromorphe Funktion auf , die im Punkt das Residuum , im Punkt das Residuum und in allen weiteren Punkten das Residuum besitzt.



Es sei ein Intervall. Zu einer stetig differenzierbaren Funktion

heißt die Funktion

die logarithmische Ableitung von . Zeige, dass die logarithmische Ableitung einen Gruppenhomomorphismus

definiert.



Es sei offen. Zu einer holomorphen Funktion

heißt die Funktion

die logarithmische Ableitung von . Zeige, dass die logarithmische Ableitung einen Gruppenhomomorphismus

definiert.



Es seien offen und sei eine differenzierbare Funktion. Auf besitze die Funktion eine Stammfunktion (was voraussetzt), die wir mit bezeichnen. Zeige



Es sei eine offene Teilmenge und eine holomorphe Funktion und es sei . Zeige, dass die logarithmische Ableitung von gleich ist.



Es sei eine offene Teilmenge und eine holomorphe Funktion mit der Eigenschaft, dass die logarithmische Ableitung von gleich ist. Zeige, dass dann die Ableitung von gleich ist.



Es sei eine zusammenhängende offene Teilmenge. Charakterisiere die nullstellenfreien holomorphen Funktionen auf mit der Eigenschaft, dass ihre logarithmische Ableitung konstant gleich ist.



Bestimme das Residuum des Kotangens im Nullpunkt.



Es sei und sei die Menge (der Keime) der meromorphen Funktionen, die in einer offenen Umgebung von definiert sind. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm

von Gruppenhomomorphismen vorliegt.



Bestimme das Residuum der meromorphen Funktion zu , , und im Nullpunkt.



Beweise Lemma 19.11 für den Fall und einen einzigen Punkt .


Wir besprechen zwei Konzepte, Divisoren und Hauptteilverteilungen, die die Frage betreffen, ob man gewisse formale Vorgaben durch meromorphe Funktionen realisieren kann. In beiden Fällen ist es einfach, die Vorgaben lokal zu realisieren, und das Problem liegt darin, inwiefern es eine globale Lösung gibt.


Es sei eine offene Teilmenge. Man nennt eine formale Summe

mit und der Eigenschaft, dass außerhalb einer diskreten Teilmenge die Zahlen sind, einen Divisor auf .


Es sei ein Gebiet und eine meromorphe Funktion auf . Dann nennt man die formale Summe

den Hauptdivisor zu . Er wird mit bezeichnet.


Es ist ein nichttrivialer Satz, dass man jeden Divisor als einen Hauptdivisor realisieren kann. Zu jeder vorgegebenen Ordnungsverteilung gibt es also eine meromorphe Funktion, die dieses Ordnungsverhalten besitzt (auf allgemeineren riemannschen Flächen, also auf komplexen eindimensionalen Mannigfaltigkeiten, die nicht als eine offene Teilmenge von gegeben sind, sieht dies völlig anders aus). Für eine endliche Trägermenge, wenn nur für endlich viele Punkte die vorgegebene Ordnung ist, ist die Aussage einfach zu beweisen.


Es sei eine offene Teilmenge und sei ein Divisor in mit einer endlichen Trägermenge. Zeige, dass es eine meromorphe Funktion auf gibt, deren Hauptdivisor gleich ist.


Es sei eine offene Teilmenge. Unter einer Hauptteilverteilung auf versteht man eine diskrete Teilmenge zusammen mit einem meromorphen Hauptteil für jeden Punkt .


Es sei eine offene Teilmenge und sei eine meromorphe Funktion auf . Dann nennt man die Abbildung, die jedem Punkt den meromorphen Hauptteil zu in zuordnet, die Hauptteilverteilung zu .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Residuum für die rationale Funktion

in jedem Punkt .



Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Residuum von für jeden Punkt .



Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme eine meromorphe Funktion auf , die im Punkt das Residuum , im Punkt das Residuum und in allen weiteren Punkten das Residuum besitzt.



Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

und

Berechne explizit (durch Einsetzen, Invertieren, Ausmultiplizieren) das Residuum von

im Nullpunkt.



Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine offene Teilmenge und sei eine Hauptteilverteilung in mit einer endlichen Trägermenge. Zeige, dass es eine meromorphe Funktion auf derart gibt, dass ihre zugehörige Hauptteilverteilung gleich ist.


Die vorstehende Aussage gilt auch, wenn die Trägermenge nicht endlich ist, ist aber deutlich schwieriger zu beweisen, siehe Aufgabe 24.15.



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