Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 19

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Bestimme das Residuum für die rationale Funktion

${}f(z)={\frac {1}{z^{2}-z}}\,$

in jedem Punkt  ${}P\in {\mathbb {C} }$. 

Aufgabe

Bestimme das Residuum für die rationale Funktion

${}f(z)={\frac {z^{3}-4z^{2}+2z+3}{z^{2}+5z-6}}\,$

in jedem Punkt  ${}P\in {\mathbb {C} }$. 

Aufgabe

Es sei ${}f$ eine meromorphe Funktion und ${}h$ eine holomorphe Funktion auf einer offenen Teilmenge  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  und sei  ${}P\in U$.  Gilt

${}\operatorname {Res} _{P}\left(hf\right)=h(P)\cdot \operatorname {Res} _{P}\left(f\right)\,?$

Aufgabe

Es sei ${}f$ eine meromorphe Funktion und ${}h$ eine holomorphe Funktion auf einer offenen Teilmenge  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  und sei  ${}P\in U$.  Die Ordnung von ${}f$ in ${}P$ sei zumindest ${}-1$. Gilt

${}\operatorname {Res} _{P}\left(hf\right)=h(P)\cdot \operatorname {Res} _{P}\left(f\right)\,?$

Aufgabe *

Es sei

$h\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine ganze Funktion und sei

${}f(z):=h{\left(z^{-1}\right)}\,.$

Zeige

${}\operatorname {Res} _{0}\left(f\right)=h'(0)\,.$

Aufgabe *

Bestimme das Residuum im Nullpunkt von

1. ${}\sin \left({\frac {1}{z}}\right)$,
2. ${}{\frac {1}{\sin z}}$.

Aufgabe

Bestimme eine meromorphe Funktion auf ${}{\mathbb {C} }$, die im Punkt ${}3+{\mathrm {i} }$ das Residuum ${}2{\mathrm {i} }$, im Punkt ${}2-\pi {\mathrm {i} }$ das Residuum ${}e-{\mathrm {i} }$ und in allen weiteren Punkten das Residuum ${}0$ besitzt.

Aufgabe

Es sei  ${}I\subseteq \mathbb {R}$  ein Intervall. Zu einer stetig differenzierbaren Funktion

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

heißt die Funktion

${\frac {f'}{f}}$

die logarithmische Ableitung von ${}f$. Zeige, dass die logarithmische Ableitung einen Gruppenhomomorphismus

$(C^{1}(I,\mathbb {R} _{+}),\cdot )\longrightarrow (C^{0}(I,\mathbb {R} ),+)$

definiert.

Aufgabe

Es sei  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  offen. Zu einer holomorphen Funktion

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\}$

heißt die Funktion

${\frac {f'}{f}}$

die logarithmische Ableitung von ${}f$. Zeige, dass die logarithmische Ableitung einen Gruppenhomomorphismus

$(C_{\mathbb {C} }^{1}(U,{\mathbb {C} }\setminus \{0\}),\cdot )\longrightarrow (C_{\mathbb {C} }^{1}(U,{\mathbb {C} }),+)$

definiert.

Aufgabe

Es seien  ${}U,V\subseteq {\mathbb {K} }$  offen und sei ${}f\colon U\rightarrow V$ eine differenzierbare Funktion. Auf ${}V$ besitze die Funktion ${}{\frac {1}{z}}$ eine Stammfunktion (was  ${}0\notin V$  voraussetzt), die wir mit ${}\ln z$ bezeichnen. Zeige

${}{\left(\ln f\right)}'={\frac {f'}{f}}\,.$

Aufgabe

Es sei  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  eine offene Teilmenge und ${}h\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion und es sei  ${}f(z)=\exp h(z)$.  Zeige, dass die logarithmische Ableitung von ${}f$ gleich ${}h'$ ist.

Aufgabe

Es sei  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  eine offene Teilmenge und ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit der Eigenschaft, dass die logarithmische Ableitung von ${}f$ gleich ${}0$ ist. Zeige, dass dann die Ableitung von ${}f$ gleich ${}0$ ist.

Aufgabe

Es sei  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  eine zusammenhängende offene Teilmenge. Charakterisiere die nullstellenfreien holomorphen Funktionen ${}f$ auf ${}U$ mit der Eigenschaft, dass ihre logarithmische Ableitung konstant gleich ${}1$ ist.

Aufgabe

Bestimme das Residuum des Kotangens im Nullpunkt.

Aufgabe

Es sei  ${}P\in {\mathbb {C} }$  und sei ${}{\mathcal {M}}_{P}$ die Menge (der Keime) der meromorphen Funktionen, die in einer offenen Umgebung von ${}P$ definiert sind. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}({\mathcal {M}}_{P}\setminus \{0\},\cdot ,1)&{\stackrel {\text{ log. Abl. }}{\longrightarrow }}&({\mathcal {M}}_{P},+,0)&\\\!\!\!\!\!\operatorname {ord} _{P}\!\!\downarrow &&\downarrow \operatorname {Res} _{P}\!\!\!\!\!\!\!\!&\\\mathbb {Z} &{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

von Gruppenhomomorphismen vorliegt.

Aufgabe

Bestimme das Residuum der meromorphen Funktion ${}{\left(h\circ \varphi \right)}\cdot \varphi '$ zu  ${}\varphi (z)=z^{k}$,   ${}k\geq 2$,  und  ${}h(w)=w^{-1}$  im Nullpunkt.

Aufgabe

Beweise Lemma 19.11 für den Fall  ${}G={\mathbb {C} }$  und einen einzigen Punkt  ${}P\in {\mathbb {C} }$. 

Wir besprechen zwei Konzepte, Divisoren und Hauptteilverteilungen, die die Frage betreffen, ob man gewisse formale Vorgaben durch meromorphe Funktionen realisieren kann. In beiden Fällen ist es einfach, die Vorgaben lokal zu realisieren, und das Problem liegt darin, inwiefern es eine globale Lösung gibt.

Es sei  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  eine offene Teilmenge. Man nennt eine formale Summe

$\sum _{x\in U}n_{x}\cdot x$

mit  ${}n_{x}\in \mathbb {Z}$  und der Eigenschaft, dass außerhalb einer diskreten Teilmenge  ${}T\subset X$  die Zahlen  ${}n_{x}=0$  sind, einen Divisor auf ${}U$.

Es sei  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  ein Gebiet und  ${}f\neq 0$  eine meromorphe Funktion auf ${}U$. Dann nennt man die formale Summe

$\sum _{x\in U}\operatorname {ord} _{x}(f)\cdot x$

den Hauptdivisor zu ${}f$. Er wird mit ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}$ bezeichnet.

Es ist ein nichttrivialer Satz, dass man jeden Divisor als einen Hauptdivisor realisieren kann. Zu jeder vorgegebenen Ordnungsverteilung gibt es also eine meromorphe Funktion, die dieses Ordnungsverhalten besitzt (auf allgemeineren riemannschen Flächen, also auf komplexen eindimensionalen Mannigfaltigkeiten, die nicht als eine offene Teilmenge von ${}{\mathbb {C} }$ gegeben sind, sieht dies völlig anders aus). Für eine endliche Trägermenge, wenn nur für endlich viele Punkte die vorgegebene Ordnung ${}\neq 0$ ist, ist die Aussage einfach zu beweisen.

Aufgabe *

Es sei  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  eine offene Teilmenge und sei ${}D$ ein Divisor in ${}U$ mit einer endlichen Trägermenge. Zeige, dass es eine meromorphe Funktion ${}f$ auf ${}U$ gibt, deren Hauptdivisor gleich ${}D$ ist.

Es sei  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  eine offene Teilmenge. Unter einer Hauptteilverteilung ${}T$ auf ${}U$ versteht man eine diskrete Teilmenge  ${}D\subseteq U$  zusammen mit einem meromorphen Hauptteil ${}T_{P}$ für jeden Punkt  ${}P\in D$. 

Es sei  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  eine offene Teilmenge und sei ${}f$ eine meromorphe Funktion auf ${}U$. Dann nennt man die Abbildung, die jedem Punkt  ${}P\in U$  den meromorphen Hauptteil zu ${}f$ in ${}P$ zuordnet, die Hauptteilverteilung zu ${}f$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Residuum für die rationale Funktion

${}f(z)={\frac {z^{2}-4z+7}{z^{3}-5}}\,$

in jedem Punkt  ${}P\in {\mathbb {C} }$. 

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Residuum von ${}{\frac {z}{\sin z}}$ für jeden Punkt  ${}z\in {\mathbb {C} }$. 

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme eine meromorphe Funktion auf ${}{\mathbb {C} }$, die im Punkt ${}2-7{\mathrm {i} }$ das Residuum ${}4-3{\mathrm {i} }$, im Punkt ${}4-5{\mathrm {i} }$ das Residuum ${}1+2{\mathrm {i} }$ und in allen weiteren Punkten das Residuum ${}0$ besitzt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

${}\varphi (z)=z+z^{2}\,$

und

${}h(w)=w^{-1}+w^{-2}\,.$

Berechne explizit (durch Einsetzen, Invertieren, Ausmultiplizieren) das Residuum von

${\left(h\circ \varphi \right)}\cdot \varphi '$

im Nullpunkt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  eine offene Teilmenge und sei ${}T$ eine Hauptteilverteilung in ${}U$ mit einer endlichen Trägermenge. Zeige, dass es eine meromorphe Funktion ${}f$ auf ${}U$ derart gibt, dass ihre zugehörige Hauptteilverteilung gleich ${}T$ ist.

Die vorstehende Aussage gilt auch, wenn die Trägermenge nicht endlich ist, ist aber deutlich schwieriger zu beweisen, siehe Aufgabe 24.15.