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Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 20/latex

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\setcounter{section}{20}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

In einer Wand befinden sich zwei Nägel, an denen eine Halskette aufgehängt werden soll. Wie kann man die Kette aufhängen, dass, sobald man nur einen der Nägel herauszieht, die Kette herrunterfällt?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der obere Halbkreisweg \maabbeledisp {f} {[-1,1]} { \R^2 } {t} {(t, \sqrt{1-t^2}) } {,} zum Weg \maabbeledisp {} {[-1,1]} { \R^2 } {t} { (t,0) } {,} \definitionsverweis {homotop}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {trigonometrische Parametrisierung}{}{} \maabbeledisp {f} {[0,2 \pi ]} { \R^2 \setminus \{ (0,0) \} } {t} { \left( \cos t , \, \sin t \right) } {,} zum Weg \maabbeledisp {} {[0,2 \pi]} { \R^2 \setminus \{ (0,0) \} } {t} { Q(t) } {,} \definitionsverweis {homotop}{}{} ist, wobei der Weg $Q(t)$ das Quadrat mit Mittelpunkt
\mathl{(0,0)}{} und Seitenlänge $2$ gleichmäßig beginnend in
\mathl{(1,0)}{} durchläuft.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {P1S2all.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { P1S2all.jpg } {} {Salix alba} {eo.wikipedia} {CC-by-sa 3.0} {}

Zeige, dass der Äquator auf der $2$-\definitionsverweis {Sphäre}{}{} \definitionsverweis {homotop}{}{} zum Nordpol ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y }
{ \in }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Homotopie von Wegen}{}{} eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} auf der Menge der \definitionsverweis {stetigen Wege}{}{} von $x$ nach $y$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{.} Zeige, dass die Verknüpfung von stetigen Wegen \maabbdisp {\gamma,\delta} {[0,1] } {X } {} durch Hintereinanderlegung zu einer wohldefinierten Verknüpfung auf den \definitionsverweis {Homotopieklassen von Wegen}{}{} führt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Verknüpfung eines stetigen geschlossenen Weges $\gamma$ mit Aufpunkt $x$ mit dem konstanten Weg $x$ \definitionsverweis {homotop}{}{} zu $\gamma$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y }
{ \in }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei \maabbdisp {\gamma} {[0,1]} {X } {} ein \definitionsverweis {stetiger Weg}{}{} von \mathkor {} {x} {nach} {y} {} und sei
\mathl{\gamma^{-1}}{} der umgekehrt durchlaufene Weg, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma^{-1}(t) }
{ \defeq }{ \gamma(1-t) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\mathl{\gamma \gamma^{-1}}{} \definitionsverweis {homotop}{}{} zum konstanten Weg $x$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y }
{ \in }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Punkte. Es seien $\gamma_1$ und $\gamma_2$ \definitionsverweis {homotope Wege}{}{} von $x$ nach $y$. Zeige, dass auch die Rückwege $\gamma_1^{-1}$ und $\gamma_2^{-1}$ zueinander homotop sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und
\mathl{x \in X}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} von \definitionsverweis {Homotopieklassen}{}{} \definitionsverweis {geschlossener Wege}{}{} mit Aufpunkt $x$ \definitionsverweis {assoziativ}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und \maabbdisp {\gamma} {S^1} {X } {} ein \definitionsverweis {stetiger}{}{} \definitionsverweis {geschlossener Weg}{}{.} Zeige, dass $\gamma$ genau dann \definitionsverweis {nullhomotop}{}{} ist, wenn es eine stetige Fortsetzung von $\gamma$ auf die \definitionsverweis {abgeschlossene Kreisscheibe}{}{} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige explizit, dass der \definitionsverweis {stetige Weg}{}{} \maabbeledisp {} { [0,2 \pi] } { {\mathbb C}^2 \setminus \{(0,0) \} } {s} { \left( e^{ { \mathrm i} s} , \, 1 \right) } {,} \definitionsverweis {nullhomotop}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {wegzusammenhängender}{}{} \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y }
{ \in }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Punkte. Zeige, dass die \definitionsverweis {Fundamentalgruppen}{}{} und \mathkor {} {\pi_1(X,x)} {und} {\pi_1(X,y)} {} zueinander \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind.

}
{} {}


Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g }
{ \in }{ G }
{ }{}
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} fixiert. Die durch $g$ definierte Abbildung \maabbeledisp {\kappa_g} {G} {G } {x} {gxg^{-1} } {,} heißt \definitionswort {innerer Automorphismus}{.}





\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {wegzusammenhängender}{}{} \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{,} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta }
{ \in }{ \pi_1(X,x) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein fixierter stetiger Weg mit Aufpunkt $x$. Zeige, dass durch \maabbeledisp {} { \pi_1(X,x)} {\pi_1(X,x) } {\gamma} { \delta \gamma \delta^{-1} } {,} ein \definitionsverweis {innerer Automorphismus}{}{} der \definitionsverweis {Fundamentalgruppe}{}{} in sich selbst gegeben ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der $\R^n$ \definitionsverweis {kontrahierbar}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {kontrahierbare}{}{} Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X }
{ \subseteq }{ \R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} die nicht \definitionsverweis {sternförmig}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {einfach zusammenhängender}{}{} \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und seien \maabbdisp {\gamma_1, \gamma_2} {[0,1]} {X } {} \definitionsverweis {stetige Wege}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma_1(0) }
{ = }{ \gamma_2(0) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma_1(1) }
{ = }{ \gamma_2(1) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass \mathkor {} {\gamma_1} {und} {\gamma_2} {} zueinander \definitionsverweis {homotop}{}{} sind.

}
{} {}





\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass bei
\mathl{n \geq 3}{} der
\mathl{\R^n \setminus \{P\}}{} \definitionsverweis {einfach zusammenhängend}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {\varphi} {X} {Y } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} zwischen \definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{} und
\mathl{x \in X}{} mit
\mathl{\varphi(x)= y}{.} Zeige, dass die Zuordnung
\mathdisp {\gamma \mapsto \varphi \circ \gamma} { }
eine wohldefinierte Abbildung auf der Menge der \definitionsverweis {Homotopieklassen}{}{} \definitionsverweis {geschlossener Wege}{}{} \zusatzklammer {mit Aufpunkt $x$ bzw. $y$} {} {} induziert.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {\varphi} {X} {Y } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} zwischen \definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(x) }
{ = }{ y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Zuordnung
\mathdisp {\gamma \mapsto \varphi \circ \gamma} { }
zu einem \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {\pi_1(X,x)} {\pi_1(Y,y) } {} führt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {\varphi} {X} {Y } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} zwischen \definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{.} Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,x' }
{ \in }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Punkte, die durch einen stetigen Weg $\delta$ miteinander verbunden seien und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(x) }
{ = }{ y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(x') }
{ = }{ y' }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} \pi_1(X,x) & \stackrel{ \pi(\varphi) }{\longrightarrow} & \pi_1(Y,y) & \\ \!\!\!\!\! \cong \downarrow & & \downarrow \cong \!\!\!\!\! & \\ \pi_1(X,x') & \stackrel{ \pi(\varphi) }{\longrightarrow} & \pi_1(Y,y') & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
vorliegt, wobei in den Vertikalen die Isomorphismen zu \mathkor {} {\delta} {bzw. zu} {\varphi \circ \delta} {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \mathkor {} {X} {und} {Y} {} \definitionsverweis {topologische Räume}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y }
{ \in }{ Y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \pi_1(X \times Y, (x,y)) }
{ \cong} { \pi_1(X,x) \times \pi_1(Y,y) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} $X$ genau dann \definitionsverweis {kontrahierbar}{}{} ist, wenn er einen Punkt enthält, der ein \definitionsverweis {Deformationsretrakt}{}{} von $X$ ist.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $[a,b]$ ein \definitionsverweis {Intervall}{}{} und sei \maabbdisp {f} {[a,b]} { \R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(a) }
{ = }{ f(b) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass der Graphweg \maabbeledisp {\gamma} {[a,b]} { \R^2 } {t} { (t,f(t)) } {,} zum Weg \maabbeledisp {} {[a,b]} { \R^2 } {t} { (t,0) } {,} \definitionsverweis {homotop}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und \maabb {\gamma} {[0,1]} {X } {} ein \definitionsverweis {stetiger Weg}{}{.} Es sei \maabbdisp {\theta} {[0,1]} {[0,1] } {} stetig mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \theta(0) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \theta(1) }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass \mathkor {} {\gamma} {und} {\theta \circ \gamma} {} zueinander \definitionsverweis {homotop}{}{} sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {kontrahierbarer Raum}{}{} \definitionsverweis {wegzusammenhängend}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{6 (3+2+1)}
{

Es seien
\mathl{X,Y,Z}{} \definitionsverweis {topologische Räume}{}{,} es seien \maabb {\varphi} {X} {Y } {} und \maabbdisp {\psi} {Y} {Z } {} \definitionsverweis {stetige Abbildungen}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(x) }
{ = }{ y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ = }{ \psi(y) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die zugehörigen \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{} zwischen den \definitionsverweis {Fundamentalgruppen}{}{} die folgenden Eigenschaften erfüllen. \aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \pi( \psi \circ \varphi) }
{ =} { \pi(\psi) \circ \pi( \varphi) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Wenn \mathkor {} {\varphi} {und} {\psi} {} invers zueinander sind \zusatzklammer {was
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X }
{ = }{ Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} voraussetzt} {} {,} so sind \mathkor {} {\pi(\psi)} {und} {\pi(\varphi)} {} invers zueinander. }{Wenn $\varphi$ ein \definitionsverweis {Homöomorphismus}{}{} ist, dann ist $\pi( \varphi)$ ein \definitionsverweis {Isomorphismus}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {Kreisring}{}{} eine $1$-\definitionsverweis {Sphäre}{}{} als \definitionsverweis {Deformationsretrakt}{}{} enthält.

}
{} {}