Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 20

Übungsaufgaben

Aufgabe

In einer Wand befinden sich zwei Nägel, an denen eine Halskette aufgehängt werden soll. Wie kann man die Kette aufhängen, dass, sobald man nur einen der Nägel herauszieht, die Kette herrunterfällt?

Aufgabe

Zeige, dass der obere Halbkreisweg

$f\colon [-1,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,{\sqrt {1-t^{2}}}),$

zum Weg

$[-1,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,0),$

homotop ist.

Aufgabe

Zeige, dass die trigonometrische Parametrisierung

$f\colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t\right),$

zum Weg

$[0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\},\,t\longmapsto Q(t),$

homotop ist, wobei der Weg ${}Q(t)$ das Quadrat mit Mittelpunkt ${}(0,0)$ und Seitenlänge ${}2$ gleichmäßig beginnend in ${}(1,0)$ durchläuft.

Aufgabe

Zeige, dass der Äquator auf der ${}2$- Sphäre homotop zum Nordpol ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}x,y\in X$. Zeige, dass die Homotopie von Wegen eine Äquivalenzrelation auf der Menge der stetigen Wege von ${}x$ nach ${}y$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Zeige, dass die Verknüpfung von stetigen Wegen

$\gamma ,\delta \colon [0,1]\longrightarrow X$

durch Hintereinanderlegung zu einer wohldefinierten Verknüpfung auf den Homotopieklassen von Wegen führt.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}x\in X$. Zeige, dass die Verknüpfung eines stetigen geschlossenen Weges ${}\gamma$ mit Aufpunkt ${}x$ mit dem konstanten Weg ${}x$ homotop zu ${}\gamma$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}x,y\in X$. Es sei

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$

ein stetiger Weg von ${}x$ nach ${}y$ und sei ${}\gamma ^{-1}$ der umgekehrt durchlaufene Weg, also ${}\gamma ^{-1}(t):=\gamma (1-t)$. Zeige, dass die Verknüpfung ${}\gamma \gamma ^{-1}$ homotop zum konstanten Weg ${}x$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und seien ${}x,y\in X$ Punkte. Es seien ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ homotope Wege von ${}x$ nach ${}y$. Zeige, dass auch die Rückwege ${}\gamma _{1}^{-1}$ und ${}\gamma _{2}^{-1}$ zueinander homotop sind.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}x\in X$. Zeige, dass die Verknüpfung von Homotopieklassen geschlossener Wege mit Aufpunkt ${}x$ assoziativ ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und

$\gamma \colon S^{1}\longrightarrow X$

ein stetiger geschlossener Weg. Zeige, dass ${}\gamma$ genau dann nullhomotop ist, wenn es eine stetige Fortsetzung von ${}\gamma$ auf die abgeschlossene Kreisscheibe gibt.

Aufgabe

Zeige explizit, dass der stetige Weg

$[0,2\pi ]\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2}\setminus \{(0,0)\},\,s\longmapsto \left(e^{{\mathrm {i} }s},\,1\right),$

nullhomotop ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein wegzusammenhängender topologischer Raum und seien ${}x,y\in X$ Punkte. Zeige, dass die Fundamentalgruppen und ${}\pi _{1}(X,x)$ und ${}\pi _{1}(X,y)$ zueinander isomorph sind.

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}g\in G$ fixiert. Die durch ${}g$ definierte Abbildung

$\kappa _{g}\colon G\longrightarrow G,\,x\longmapsto gxg^{-1},$

heißt innerer Automorphismus.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein wegzusammenhängender topologischer Raum, sei ${}x\in X$ ein Punkt und sei ${}\delta \in \pi _{1}(X,x)$ ein fixierter stetiger Weg mit Aufpunkt ${}x$. Zeige, dass durch

$\pi _{1}(X,x)\longrightarrow \pi _{1}(X,x),\,\gamma \longmapsto \delta \gamma \delta ^{-1},$

ein innerer Automorphismus der Fundamentalgruppe in sich selbst gegeben ist.

Aufgabe

Zeige, dass der ${}\mathbb {R} ^{n}$ kontrahierbar ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine kontrahierbare Teilmenge ${}X\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, die nicht sternförmig ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein einfach zusammenhängender topologischer Raum und seien

$\gamma _{1},\gamma _{2}\colon [0,1]\longrightarrow X$

stetige Wege mit ${}\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)$ und ${}\gamma _{1}(1)=\gamma _{2}(1)$. Zeige, dass ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ zueinander homotop sind.

Aufgabe

Zeige, dass bei ${}n\geq 3$ der ${}\mathbb {R} ^{n}\setminus \{P\}$ einfach zusammenhängend ist.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen und ${}x\in X$ mit ${}\varphi (x)=y$. Zeige, dass die Zuordnung

$\gamma \mapsto \varphi \circ \gamma$

eine wohldefinierte Abbildung auf der Menge der Homotopieklassen geschlossener Wege (mit Aufpunkt ${}x$ bzw. ${}y$) induziert.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen und ${}x\in X$ mit ${}\varphi (x)=y$. Zeige, dass die Zuordnung

$\gamma \mapsto \varphi \circ \gamma$

zu einem Gruppenhomomorphismus

$\pi _{1}(X,x)\longrightarrow \pi _{1}(Y,y)$

führt.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen. Es seien ${}x,x'\in X$ Punkte, die durch einen stetigen Weg ${}\delta$ miteinander verbunden seien und sei ${}\varphi (x)=y$ und ${}\varphi (x')=y'$. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}\pi _{1}(X,x)&{\stackrel {\pi (\varphi )}{\longrightarrow }}&\pi _{1}(Y,y)&\\\!\!\!\!\!\cong \downarrow &&\downarrow \cong \!\!\!\!\!&\\\pi _{1}(X,x')&{\stackrel {\pi (\varphi )}{\longrightarrow }}&\pi _{1}(Y,y')&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vorliegt, wobei in den Vertikalen die Isomorphismen zu ${}\delta$ bzw. zu ${}\varphi \circ \delta$.

Aufgabe

Es sei ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume und ${}x\in X$, ${}y\in Y$. Zeige

${}\pi _{1}(X\times Y,(x,y))\cong \pi _{1}(X,x)\times \pi _{1}(Y,y)\,.$

Aufgabe

Zeige, dass ein topologischer Raum ${}X$ genau dann kontrahierbar ist, wenn er einen Punkt enthält, der ein Deformationsretrakt von ${}X$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}[a,b]$ ein Intervall und sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion mit ${}f(a)=f(b)=0$. Zeige, dass der Graphweg

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,f(t)),$

zum Weg

$[a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,0),$

homotop ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}\gamma \colon [0,1]\rightarrow X$ ein stetiger Weg. Es sei

$\theta \colon [0,1]\longrightarrow [0,1]$

stetig mit ${}\theta (0)=0$ und ${}\theta (1)=1$. Zeige, dass ${}\gamma$ und ${}\theta \circ \gamma$ zueinander homotop sind.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass ein kontrahierbarer Raum wegzusammenhängend ist.

Aufgabe (6 (3+2+1) Punkte)

Es seien ${}X,Y,Z$ topologische Räume, es seien ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ und

$\psi \colon Y\longrightarrow Z$

stetige Abbildungen und ${}x\in X$ mit ${}\varphi (x)=y$ und ${}z=\psi (y)$. Zeige, dass die zugehörigen Gruppenhomomorphismen zwischen den Fundamentalgruppen die folgenden Eigenschaften erfüllen.

1. Es ist

   ${}\pi (\psi \circ \varphi )=\pi (\psi )\circ \pi (\varphi )\,.$

2. Wenn ${}\varphi$ und ${}\psi$ invers zueinander sind (was ${}X=Z$ voraussetzt), so sind ${}\pi (\psi )$ und ${}\pi (\varphi )$ invers zueinander.
3. Wenn ${}\varphi$ ein Homöomorphismus ist, dann ist ${}\pi (\varphi )$ ein Isomorphismus.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass ein Kreisring eine ${}1$- Sphäre als Deformationsretrakt enthält.