Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 25/latex
\setcounter{section}{25}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $P$ ein komplexes
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass jeder Wert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Gesamtvielfachheit}{}{}
$d$ angenommen wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ = }{ z^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die $n$-te komplexe Potenzierung. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(z)
}
{ = }{ \sum_{j = 0}^d a_jz^j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
$$ ein komplexes Polynom vom Grad $\leq d$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{j = 0}^d \betrag { a_j }
}
{ <} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Gesamtvielfachheit}{}{}
der Nullstellen von
\mathl{f+g}{} innerhalb der offenen Einheitskreisscheibe gleich $n$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
der
\definitionsverweis {holomorphen Funktionen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_n(z)
}
{ =} { z^2- { \frac{ 1 }{ n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wie verhalten sich die Anzahlen der Nullstellen und die
\definitionsverweis {Gesamtnullstellenordnung}{}{}
der Funktionen und die der Grenzfunktion der Folge?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
der
\definitionsverweis {holomorphen Funktionen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_n(z)
}
{ =} { \sum_{k = 0}^n { \frac{ z }{ k! } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wie verhalten sich die Anzahlen der Nullstellen
\zusatzklammer {bzw. die
\definitionsverweis {Gesamtnullstellenordnung}{}{}} {} {}
der Funktionen und die Nullstellenanzahl der Grenzfunktion der Folge?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Grenzfunktion einer
\definitionsverweis {kompakt konvergenten}{}{}
\definitionsverweis {Folge}{}{}
von
\definitionsverweis {injektiven}{}{}
\definitionsverweis {holomorphen Funktionen}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {Gebiet}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
konstant sein kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere eine \anfuehrung{möglichst verrückte}{} \definitionsverweis {einfach zusammenhängende}{}{} offene Teilmenge von ${\mathbb C}$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {einfach zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \neq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
$F$ mit
\definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{}
$\geq 1$ gibt, derart, dass die zugehörige Funktion
\maabbdisp {f} { U { \left( 0,1 \right) } } {U
} {}
\definitionsverweis {biholomorph}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Automorphismengruppe}{}{}
einer jeden
\definitionsverweis {einfach zusammenhängenden}{}{}
\definitionsverweis {offenen Teilmenge}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \neq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
stets die gleiche Gruppe ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
mit der Eigenschaft, dass jede nullstellenfreie
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
auf $U$ eine Quadratwurzel besitzt. Zeige, dass $U$
\definitionsverweis {einfach zusammenhängend}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass es
\definitionsverweis {abgeschlossene}{}{}
\definitionsverweis {einfach zusammenhängende}{}{}
Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, die nicht zur abgeschlossenen Kreisscheibe
\mathl{B \left( 0,1 \right)}{}
\definitionsverweis {homöomorph}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine
\definitionsverweis {offene}{}{}
\definitionsverweis {einfach zusammenhängende}{}{}
Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subset }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass der
\definitionsverweis {Abschluss}{}{}
\mathl{\overline{ U }}{} nicht
\definitionsverweis {homöomorph}{}{}
zur
\definitionsverweis {abgeschlossenen Kreisscheibe}{}{}
ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {einfach zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \neq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt. Zeige, dass es eine eindeutige
\definitionsverweis {biholomorphe Abbildung}{}{}
\maabbdisp {f} {U} { U { \left( 0,1 \right) }
} {}
derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(P)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mathl{f'(P)}{} reell und positiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Beschreibe explizit eine \definitionsverweis {surjektive}{}{} \definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{} \maabbdisp {f} { U { \left( 0,1 \right) } } {U { \left( 0,1 \right) } \setminus \{0\} } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene}{}{}
\definitionsverweis {einfach zusammenhängende}{}{}
Teilmenge derart, dass es eine
\definitionsverweis {biholomorphe}{}{}
Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {U} { U { \left( 0,1 \right) }
} {}
derart gibt, dass $\varphi$ zu einer stetigen Abbildung auf den
\definitionsverweis {Abschluss}{}{}
\mathl{\overline{ U }}{} ausgedehnt werden kann, die eine Homöomorphie zwischen dem
\definitionsverweis {Rand}{}{}
von $U$ und dem Rand der Einheitskreisscheibe induziert. Zeige, dass diese Eigenschaft dann für jede biholomorphe Abbildung
\maabbdisp {\psi} {U} { U { \left( 0,1 \right) }
} {}
gilt.
}
{} {}