Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 25

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}P$ ein komplexes Polynom vom Grad  ${}d\geq 1$.  Zeige, dass jeder Wert  ${}w\in {\mathbb {C} }$  mit der Gesamtvielfachheit ${}d$ angenommen wird.

Aufgabe

Es sei  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$  und sei  ${}f(z)=z^{n}$  die ${}n$-te komplexe Potenzierung. Es sei  ${}g(z)=\sum _{j=0}^{d}a_{j}z^{j}$  ein komplexes Polynom vom Grad ${}\leq d$ mit

${}\sum _{j=0}^{d}\vert {a_{j}}\vert <1\,.$

Zeige, dass die Gesamtvielfachheit der Nullstellen von ${}f+g$ innerhalb der offenen Einheitskreisscheibe gleich ${}n$ ist.

Aufgabe

Betrachte die Folge der holomorphen Funktionen

${}f_{n}(z)=z^{2}-{\frac {1}{n}}\,.$

Wie verhalten sich die Anzahlen der Nullstellen und die Gesamtnullstellenordnung der Funktionen und die der Grenzfunktion der Folge?

Aufgabe

Betrachte die Folge der holomorphen Funktionen

${}f_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {z}{k!}}\,.$

Wie verhalten sich die Anzahlen der Nullstellen (bzw. die Gesamtnullstellenordnung) der Funktionen und die Nullstellenanzahl der Grenzfunktion der Folge?

Aufgabe

Zeige, dass die Grenzfunktion einer kompakt konvergenten Folge von injektiven holomorphen Funktionen auf einem Gebiet  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  konstant sein kann.

Aufgabe

Skizziere eine „möglichst verrückte“ einfach zusammenhängende offene Teilmenge von ${}{\mathbb {C} }$.

Aufgabe

Es sei  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  eine einfach zusammenhängende offene Teilmenge mit  ${}U\neq {\mathbb {C} }$.  Zeige, dass es eine Potenzreihe ${}F$ mit Konvergenzradius ${}\geq 1$ gibt, derart, dass die zugehörige Funktion

$f\colon U{\left(0,1\right)}\longrightarrow U$

biholomorph ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Automorphismengruppe einer jeden einfach zusammenhängenden offenen Teilmenge mit  ${}U\neq {\mathbb {C} }$  stets die gleiche Gruppe ist.

Aufgabe

Es sei  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  eine zusammenhängende offene Teilmenge mit der Eigenschaft, dass jede nullstellenfreie holomorphe Funktion auf ${}U$ eine Quadratwurzel besitzt. Zeige, dass ${}U$ einfach zusammenhängend ist.

Aufgabe *

Zeige, dass es abgeschlossene einfach zusammenhängende Teilmengen  ${}A\subseteq {\mathbb {C} }$  gibt, die nicht zur abgeschlossenen Kreisscheibe ${}B\left(0,1\right)$ homöomorph sind.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für eine offene einfach zusammenhängende Teilmenge  ${}U\subset {\mathbb {C} }$  derart, dass der Abschluss ${}{\overline {U}}$ nicht homöomorph zur abgeschlossenen Kreisscheibe ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  eine einfach zusammenhängende offene Teilmenge mit  ${}U\neq {\mathbb {C} }$  und sei  ${}P\in U$  ein Punkt. Zeige, dass es eine eindeutige biholomorphe Abbildung

$f\colon U\longrightarrow U{\left(0,1\right)}$

derart gibt, dass  ${}f(P)=0$  und ${}f'(P)$ reell und positiv ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Beschreibe explizit eine surjektive holomorphe Funktion

$f\colon U{\left(0,1\right)}\longrightarrow U{\left(0,1\right)}\setminus \{0\}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  eine offene einfach zusammenhängende Teilmenge derart, dass es eine biholomorphe Abbildung

$\varphi \colon U\longrightarrow U{\left(0,1\right)}$

derart gibt, dass ${}\varphi$ zu einer stetigen Abbildung auf den Abschluss ${}{\overline {U}}$ ausgedehnt werden kann, die eine Homöomorphie zwischen dem Rand von ${}U$ und dem Rand der Einheitskreisscheibe induziert. Zeige, dass diese Eigenschaft dann für jede biholomorphe Abbildung

$\psi \colon U\longrightarrow U{\left(0,1\right)}$

gilt.