Zum Inhalt springen

Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 26/latex

Aus Wikiversity

\setcounter{section}{26}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_1, \Gamma_2 }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {vollständige Gitter}{}{.} Zeige, dass es eine $\R$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {} { \R^n} { \R^n } {} gibt, die einen \definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {\Gamma_1} { \Gamma_2 } {} induziert.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{\Gamma_1, \Gamma_2 \subseteq \R^n}{} rationale \definitionsverweis {vollständige Gitter}{}{.} Zeige, dass es eine $\Q$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {} { \Q^n} { \Q^n } {} gibt, die einen \definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {\Gamma_1} { \Gamma_2 } {} induziert.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma }
{ = }{ \langle r+s { \mathrm i} , t+u { \mathrm i} \rangle }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gitter}{}{} in ${\mathbb C}$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r,s,t,u }
{ \in }{\Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ru-st }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass $\Gamma$ das Standardgitter
\mathl{\langle 1, { \mathrm i} \rangle}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Untergruppe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Z + \Z \cdot \sqrt{3} }
{ \subseteq} {\R }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {dicht}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der Einheitskreis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S^1_\R }
{ =} { { \left\{ z \in \R[ { \mathrm i} ] \cong {\mathbb C} \mid \betrag { z } = 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {isomorph}{}{} zu
\mathl{\R/\Z}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Charakterisiere die \definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{} eines \definitionsverweis {Gitters}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}


Zu einem durch \definitionsverweis {linear unabhängige}{}{} Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} gegebenen \definitionsverweis {Gitter}{}{} bezeichnet man die \definitionsverweis {konvexe Hülle}{}{} der Vektoren
\mathl{\epsilon_1 v_1 + \cdots + \epsilon_n v_n}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon_i }
{ \in }{ \{0,1\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} als die \definitionswort {Grundmasche}{} \zusatzklammer {oder \definitionswort {Fundamentalmasche}{}} {} {} des Gitters.





\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{}
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gitter }{}{} und sei $u,v$ ein Erzeugendensystem von $\Gamma$. Zeige, dass der Flächeninhalt zur \definitionsverweis {Grundmasche}{}{} zu diesen Erzeugern nur vom Gitter abhängt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma }
{ = }{ \Z u + \Z v }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gitter }{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma' }
{ = }{ \langle au +bv, cu+dv \rangle }
{ \subseteq }{ \Gamma }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Untergitter}{}{.} Zeige, dass die Anzahl von
\mathl{\Gamma/\Gamma'}{} gleich dem Betrag der \definitionsverweis {Determinante}{}{} von
\mathl{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gitter}{}{.} Zeige direkt, dass
\mathdisp {{ \left\{ s \in {\mathbb C} \mid s \Gamma \subseteq \Gamma \right\} }} { }
ein \definitionsverweis {Unterring}{}{} von ${\mathbb C}$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass in
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S }
{ = }{ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ = }{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beziehungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S^2 }
{ = }{ - \operatorname{Id} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (ST)^3 }
{ = }{ - \operatorname{Id} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gelten.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die Matrizen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S }
{ = }{ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ = }{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} aus
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }}{.} Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ST }
{ \neq} {T^n S }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{ \Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} } {Die von $T$ erzeugte Untergruppe in
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }}{} ist kein \definitionsverweis {Normalteiler}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass in der \definitionsverweis {Modulgruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }/ \pm \operatorname{Id}}{} die Relationen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S^2 }
{ = }{ \operatorname{Id} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (ST)^3 }
{ = }{ \operatorname{Id} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gelten.

}
{} {}


Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und $M$ eine Menge. Eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {G \times M} {M } {(g,x)} {gx } {,} heißt \definitionswort {Gruppenoperation}{} \zusatzklammer {von $G$ auf $M$} {} {,} wenn die beiden folgenden Eigenschaften gelten. \aufzaehlungzwei {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ex }
{ = }{ x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} } {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (gh)x }
{ = }{ g(hx) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g,h }
{ \in }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }


Es sei \maabbdisp {} {G \times M} {M } {} eine \definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{} einer \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ auf einer Menge $M$. Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D }
{ \subseteq }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt \definitionswort {Fundamentalbereich}{} für die Operation, wenn es für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g }
{ \in }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{gx }
{ \in }{D }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.





\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Modulsubstitution}{}{} eine \definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{} auf der \definitionsverweis {oberen Halbebene}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Finde für das \definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma }
{ = }{ \langle 3+ { \mathrm i} , -1+2 { \mathrm i} \rangle }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das Element $\tau$ im \definitionsverweis {Fundamentalbereich}{}{} $D$ derart, dass $\Gamma$ \definitionsverweis {streckungsäquivalent}{}{} zu
\mathl{\langle 1, \tau \rangle}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Finde für das \definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma }
{ = }{ \langle 3+7 { \mathrm i} , 2-5 { \mathrm i} \rangle }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das Element $\tau$ im \definitionsverweis {Fundamentalbereich}{}{} $D$ derart, dass $\Gamma$ \definitionsverweis {streckungsäquivalent}{}{} zu
\mathl{\langle 1, \tau \rangle}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Finde für das \definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma }
{ = }{ \langle \sqrt{5} + { \mathrm i} , 3- \sqrt{2} { \mathrm i} \rangle }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das Element $\tau$ im \definitionsverweis {Fundamentalbereich}{}{} $D$ derart, dass $\Gamma$ \definitionsverweis {streckungsäquivalent}{}{} zu
\mathl{\langle 1, \tau \rangle}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gitter}{}{} in ${\mathbb C}$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{$\Gamma$ ist \definitionsverweis {streckungsäquivalent}{}{} zu einem Gitter in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Z + \Z { \mathrm i} }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{$\Gamma$ ist streckungsäquivalent zu einem Gitter in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q + \Q { \mathrm i} }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{$\Gamma$ ist streckungsäquivalent zu einem Gitter der Form
\mathl{\Z + \Z \tau}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tau }
{ \in }{D }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tau }
{ \in }{ \Q + \Q { \mathrm i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Interpretiere die \definitionsverweis {Modulsubstitution}{}{} auf der \definitionsverweis {oberen Halbebene}{}{} als \definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{} auf der offenen \definitionsverweis {Einheitskreisscheibe}{}{} mit Hilfe von Lemma 2.10.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} { {\mathbb C} \cong \R^2} { {\mathbb C} \cong \R^2 } {} eine bijektive $\R$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma }
{ \subset }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Gitter. Zeige, dass $\varphi$ einen \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} und Homomorphismus der reellen Lie-Gruppe \maabbdisp {\overline{\varphi}} { {\mathbb C} / \Gamma } { {\mathbb C} / \varphi(\Gamma) } {} induziert, dass dies aber kein Homomorphismus von komplexen Lie-Gruppen sein muss.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{4}
{

Alle Springmäuse leben in $\Z^2$ und verfügen über zwei Sprünge, nämlich den Sprung
\mathl{\pm (3,4)}{} und den Sprung
\mathl{\pm (5,2)}{.} Wie viele Springmaus-Populationen gibt es? Die Springmäuse Albert, Beate, Erich, Heinz, Sabine und Frida sitzen in den Positionen
\mathdisp {(14,11),\, (13,15),\, (17, 12),\,(15,19 ) ,\, (16,16) \mbox{ und } (12,20)} { . }
Welche Springmäuse können sich begegnen?

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_1, \Gamma_2 }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} rationale \definitionsverweis {vollständige Gitter}{}{.} Zeige, dass es ein rationales Gitter
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma_1, \Gamma_2 }
{ \subseteq }{ \Gamma }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma }
{ \subset }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {vollständiges Gitter}{}{} und \maabbdisp {p} { \R^n} { \R^n/\Gamma } {} die kanonische Projektion, wobei der Quotient mit der \definitionsverweis {Quotiententopologie}{}{} versehen sei. Zeige, dass $p$ eine \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Finde für das \definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma }
{ = }{ \langle 1 , -e + \pi { \mathrm i} \rangle }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das Element $\tau$ im \definitionsverweis {Fundamentalbereich}{}{} $D$ derart, dass $\Gamma$ \definitionsverweis {streckungsäquivalent}{}{} zu
\mathl{\langle 1, \tau \rangle}{} ist.

}
{} {}