Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 27/latex
\setcounter{section}{27}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{.}
Zeige, dass zu einer
\definitionsverweis {elliptischen Funktion}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {bezüglich $\Gamma$} {} {}
auch $f^{-1}$ elliptisch ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{.}
Zeige, dass zu einer
\definitionsverweis {elliptischen Funktion}{}{}
$f$
\zusatzklammer {bezüglich $\Gamma$} {} {}
auch die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
$f'$ elliptisch ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{.}
Zeige, dass jede
\definitionsverweis {elliptische Funktion}{}{}
$f$
\zusatzklammer {bezüglich $\Gamma$} {} {}
eine eindeutige Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{g+h
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {geraden}{}{}
elliptischen Funktion $g$ und einer
\definitionsverweis {ungeraden}{}{}
elliptischen Funktion $h$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_1, \Gamma_2
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {streckungsäquivalente}{}{}
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_2
}
{ = }{ s \Gamma_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass zu jeder bezüglich $\Gamma_1$
\definitionsverweis {elliptischen Funktion}{}{}
$f$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g(w)
}
{ \defeq} { f { \left( { \frac{ w }{ s } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine bezüglich $\Gamma_2$ elliptische Funktion gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Reihe
\mathl{\sum_{n \in \Z} { \frac{ 1 }{ { \left( z-n \right) }^2 } }}{} auf
\mathl{{\mathbb C} \setminus \Z}{}
\definitionsverweis {kompakt konvergiert}{}{.}
}
{} {}
Man kann zeigen, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{n \in \Z} { \frac{ 1 }{ { \left( z-n \right) }^2 } }
}
{ =} { { \frac{ \pi^2 }{ \sin^{ 2 } \pi z } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{.}
Zeige, dass die Familie
\mathdisp {w^{-2} ,\, w \in \Gamma'} { }
nicht
\definitionsverweis {summierbar}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {elliptische Funktion}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ =} { \sum_{v \in \Gamma} (z-v)^{-3}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {ungerade}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ = }{\langle v_1,v_2 \rangle
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {elliptische Funktion}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ =} { \sum_{v \in \Gamma} (z-v)^{-3}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in den Punkten
\mathl{{ \frac{ v_1 }{ 2 } }, { \frac{ v_2 }{ 2 } }, { \frac{ v_1+v_2 }{ 2 } },}{}
eine Nullstelle besitzt, und dass dies innerhalb der halboffenen Gittermasche
\mathl{{ \left\{ sv_1+tv_2 \mid 0 \leq s,t < 1 \right\} }}{} die einzigen Nullstellen sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
in ${\mathbb C}$ und $\wp$ die zugehörige
\definitionsverweis {Weierstraßsche Funktion}{}{.}
Zeige, dass $\wp$ auf
\mathl{{\mathbb C} \setminus \Gamma}{} eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Welche Funktion $g$ ergibt sich im Beweis zu
Lemma 27.13
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ \wp
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Delta
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine zu $\Z^3$
\definitionsverweis {isomorphe}{}{}
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{.}
Zeige, dass es außer den konstanten Funktionen keine
\definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{}
gibt, die bezüglich $\Delta$ periodisch ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{.}
Zeige, dass zu
\definitionsverweis {elliptischen Funktionen}{}{}
\mathl{f,g}{}
\zusatzklammer {bezüglich $\Gamma$} {} {}
auch
\mathkor {} {f+g} {und} {f \cdot g} {}
elliptisch sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6 (2+4)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ = }{ \langle 2 \pi { \mathrm i}, u \rangle
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ = }{ e^u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Es sei
\maabbdisp {g} { {\mathbb C} \setminus \{0\} } { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{}
mit der Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g(aw)
}
{ =} { g(w)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $w$. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ =} { g(e^z)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {elliptisch}{}{}
bezüglich $\Gamma$ ist.
} {Es sei
\maabb {f} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {}
elliptisch bezüglich $\Gamma$. Zeige, dass es eine Funktion
\maabb {g} { {\mathbb C} \setminus \{0\} } { {\mathbb C}
} {}
wie in (1) gibt derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ =} { g(e^z)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_1, \Gamma_2
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {streckungsäquivalente}{}{}
\definitionsverweis {Gitter}{}{.}
Zeige, dass die Korrespondenz aus
Aufgabe 27.4
zwischen
\definitionsverweis {elliptischen Funktionen}{}{}
bezüglich $\Gamma_1$ und elliptischen Funktionen bezüglich $\Gamma_2$
einen
\definitionsverweis {Körperisomorphismus}{}{}
induziert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Man gebe ein Beispiel für eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Delta
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die zu $\Z^2$
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
ist, und für die es neben den konstanten Funktionen keine
\definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{}
gibt, die bezüglich $\Delta$ periodisch ist.
}
{} {}