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Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 27/latex

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\setcounter{section}{27}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gitter}{}{.} Zeige, dass zu einer \definitionsverweis {elliptischen Funktion}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {bezüglich $\Gamma$} {} {} auch $f^{-1}$ elliptisch ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gitter}{}{.} Zeige, dass zu einer \definitionsverweis {elliptischen Funktion}{}{} $f$ \zusatzklammer {bezüglich $\Gamma$} {} {} auch die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} $f'$ elliptisch ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gitter}{}{.} Zeige, dass jede \definitionsverweis {elliptische Funktion}{}{} $f$ \zusatzklammer {bezüglich $\Gamma$} {} {} eine eindeutige Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ = }{g+h }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit einer \definitionsverweis {geraden}{}{} elliptischen Funktion $g$ und einer \definitionsverweis {ungeraden}{}{} elliptischen Funktion $h$ besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_1, \Gamma_2 }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {streckungsäquivalente}{}{} \definitionsverweis {Gitter}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_2 }
{ = }{ s \Gamma_1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass zu jeder bezüglich $\Gamma_1$ \definitionsverweis {elliptischen Funktion}{}{} $f$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g(w) }
{ \defeq} { f { \left( { \frac{ w }{ s } } \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine bezüglich $\Gamma_2$ elliptische Funktion gegeben ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Reihe
\mathl{\sum_{n \in \Z} { \frac{ 1 }{ { \left( z-n \right) }^2 } }}{} auf
\mathl{{\mathbb C} \setminus \Z}{} \definitionsverweis {kompakt konvergiert}{}{.}

}
{} {}

Man kann zeigen, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{n \in \Z} { \frac{ 1 }{ { \left( z-n \right) }^2 } } }
{ =} { { \frac{ \pi^2 }{ \sin^{ 2 } \pi z } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gitter}{}{.} Zeige, dass die Familie
\mathdisp {w^{-2} ,\, w \in \Gamma'} { }
nicht \definitionsverweis {summierbar}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gitter}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {elliptische Funktion}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z) }
{ =} { \sum_{v \in \Gamma} (z-v)^{-3} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {ungerade}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma }
{ = }{\langle v_1,v_2 \rangle }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gitter}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {elliptische Funktion}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z) }
{ =} { \sum_{v \in \Gamma} (z-v)^{-3} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in den Punkten
\mathl{{ \frac{ v_1 }{ 2 } }, { \frac{ v_2 }{ 2 } }, { \frac{ v_1+v_2 }{ 2 } },}{} eine Nullstelle besitzt, und dass dies innerhalb der halboffenen Gittermasche
\mathl{{ \left\{ sv_1+tv_2 \mid 0 \leq s,t < 1 \right\} }}{} die einzigen Nullstellen sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gitter}{}{} in ${\mathbb C}$ und $\wp$ die zugehörige \definitionsverweis {Weierstraßsche Funktion}{}{.} Zeige, dass $\wp$ auf
\mathl{{\mathbb C} \setminus \Gamma}{} eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Welche Funktion $g$ ergibt sich im Beweis zu Lemma 27.13 für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ = }{ \wp }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Delta }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine zu $\Z^3$ \definitionsverweis {isomorphe}{}{} \definitionsverweis {Untergruppe}{}{.} Zeige, dass es außer den konstanten Funktionen keine \definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{} gibt, die bezüglich $\Delta$ periodisch ist.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{2}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gitter}{}{.} Zeige, dass zu \definitionsverweis {elliptischen Funktionen}{}{}
\mathl{f,g}{} \zusatzklammer {bezüglich $\Gamma$} {} {} auch \mathkor {} {f+g} {und} {f \cdot g} {} elliptisch sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{6 (2+4)}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma }
{ = }{ \langle 2 \pi { \mathrm i}, u \rangle }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gitter}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ = }{ e^u }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} \aufzaehlungzwei {Es sei \maabbdisp {g} { {\mathbb C} \setminus \{0\} } { {\mathbb C} } {} eine \definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{} mit der Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g(aw) }
{ =} { g(w) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle $w$. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z) }
{ =} { g(e^z) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {elliptisch}{}{} bezüglich $\Gamma$ ist. } {Es sei \maabb {f} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {} elliptisch bezüglich $\Gamma$. Zeige, dass es eine Funktion \maabb {g} { {\mathbb C} \setminus \{0\} } { {\mathbb C} } {} wie in (1) gibt derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z) }
{ =} { g(e^z) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_1, \Gamma_2 }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {streckungsäquivalente}{}{} \definitionsverweis {Gitter}{}{.} Zeige, dass die Korrespondenz aus Aufgabe 27.4 zwischen \definitionsverweis {elliptischen Funktionen}{}{} bezüglich $\Gamma_1$ und elliptischen Funktionen bezüglich $\Gamma_2$ einen \definitionsverweis {Körperisomorphismus}{}{} induziert.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Delta }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} die zu $\Z^2$ \definitionsverweis {isomorph}{}{} ist, und für die es neben den konstanten Funktionen keine \definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{} gibt, die bezüglich $\Delta$ periodisch ist.

}
{} {}