Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 28/latex
\setcounter{section}{28}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ = }{ \langle u ,v \rangle
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
in ${\mathbb C}$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ \in }{ \operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ > }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_ {(m,n) \in \Z^2, \, (m,n) \neq (0,0)} (mu+nv)^{-s}
}
{ =} { \sum_ {(k,\ell) \in \Z^2, \, (k,\ell) \neq (0,0)} (k(au+bv)+ \ell (cu+dv) )^{-s}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den Endomorphismenring
\zusatzklammer {siehe
Aufgabe 26.9} {} {}
des
\definitionsverweis {Gitters}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ = }{\Z + \Z { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den Endomorphismenring
\zusatzklammer {siehe
Aufgabe 26.9} {} {}
des
\definitionsverweis {Gitters}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ = }{\Z + \Z { \frac{ -1 + \sqrt{3} { \mathrm i} }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Finde eine Lösung für die gewöhnliche Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z'
}
{ =} { \sqrt{ z^3+az+b }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z(0)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bis zur vierten Ordnung durch einen Potenzreihenansatz
\zusatzklammer {es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element, das keine
\definitionsverweis {Quadratwurzel}{}{}
in $R$ besitze. Zeige, dass das
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^2 -r
}
{ \in }{ R[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
in ${\mathbb C}$ und $\wp$ die zugehörige
\definitionsverweis {Weierstraßsche Funktion}{}{.}
Drücke $\wp^{\prime \prime}$ als rationale Kombination in
\mathkor {} {\wp} {und} {\wp'} {}
aus.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
in ${\mathbb C}$ und $\wp$ die zugehörige
\definitionsverweis {Weierstraßsche Funktion}{}{.}
Bestimme die Ableitung von ${ \frac{ \wp' }{ \wp } }$ als rationale Kombination in
\mathkor {} {\wp} {und} {\wp'} {}
aus.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
in ${\mathbb C}$ und $\wp$ die zugehörige
\definitionsverweis {Weierstraßsche Funktion}{}{.}
Bestimme die Ableitung von ${ \frac{ \wp^2 }{ \wp' } }$ als rationale Kombination in
\mathkor {} {\wp} {und} {\wp'} {}
aus.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass die Stammfunktion einer \definitionsverweis {elliptischen Funktion}{}{} keine elliptische Funktion sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme das \definitionsverweis {Residuum}{}{} der \definitionsverweis {Weierstraßschen}{}{} Funktion $\wp$ \zusatzklammer {zu einem \definitionsverweis {Gitter}{}{} $\Gamma$} {} {} in jedem Punkt.
}
{} {}