Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 28

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}\Gamma =\langle u,v\rangle \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter in ${}{\mathbb {C} }$ und sei ${}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$. Es sei ${}s>2$. Zeige

${}\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2},\,(m,n)\neq (0,0)}(mu+nv)^{-s}=\sum _{(k,\ell )\in \mathbb {Z} ^{2},\,(k,\ell )\neq (0,0)}(k(au+bv)+\ell (cu+dv))^{-s}\,.$

Aufgabe

Bestimme den Endomorphismenring (siehe Aufgabe 26.9) des Gitters ${}\Gamma =\mathbb {Z} +\mathbb {Z} {\mathrm {i} }$.

Aufgabe

Bestimme den Endomorphismenring (siehe Aufgabe 26.9) des Gitters ${}\Gamma =\mathbb {Z} +\mathbb {Z} {\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$.

Aufgabe *

Finde eine Lösung für die gewöhnliche Differentialgleichung

${}z'={\sqrt {z^{3}+az+b}}\,$

mit ${}z(0)=0$ bis zur vierten Ordnung durch einen Potenzreihenansatz (es seien ${}a,b\in \mathbb {R}$ und ${}b>0$).

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}r\in R$ ein Element, das keine Quadratwurzel in ${}R$ besitze. Zeige, dass das Polynom ${}X^{2}-r\in R[X]$ irreduzibel ist.

Aufgabe *

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter in ${}{\mathbb {C} }$ und ${}\wp$ die zugehörige Weierstraßsche Funktion. Drücke ${}\wp ^{\prime \prime }$ als rationale Kombination in ${}\wp$ und ${}\wp '$ aus.

Aufgabe *

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter in ${}{\mathbb {C} }$ und ${}\wp$ die zugehörige Weierstraßsche Funktion. Bestimme die Ableitung von ${}{\frac {\wp '}{\wp }}$ als rationale Kombination in ${}\wp$ und ${}\wp '$ aus.

Aufgabe *

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter in ${}{\mathbb {C} }$ und ${}\wp$ die zugehörige Weierstraßsche Funktion. Bestimme die Ableitung von ${}{\frac {\wp ^{2}}{\wp '}}$ als rationale Kombination in ${}\wp$ und ${}\wp '$ aus.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die Stammfunktion einer elliptischen Funktion keine elliptische Funktion sein muss.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme das Residuum der Weierstraßschen Funktion ${}\wp$ (zu einem Gitter ${}\Gamma$) in jedem Punkt.