Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Definitionsabfrage
Es sei
offen,
ein Punkt und
eine
Funktion. Man sagt, dass differenzierbar in
ist, wenn der
Limes
existiert. Im Fall der Existenz heißt dieser Limes der Differentialquotient oder die Ableitung von in
, geschrieben
Es sei
offen
und
eine
Funktion.
Man sagt, dass
-mal differenzierbar ist, wenn
-mal differenzierbar ist und die
-te Ableitung
differenzierbar
ist. Die Ableitung
nennt man dann die -te Ableitung von
.
Eine Funktion
die in jedem Punkt komplex differenzierbar ist, heißt ganze Funktion.
Es sei
offen
und sei
eine Funktion. Eine Funktion
heißt Stammfunktion zu , wenn
auf
differenzierbar
ist und
für alle
gilt.
Eine
zusammenhängende
offene Teilmenge
heißt
Gebiet.
Eine
holomorphe Funktion
zwischen
offenen Mengen
heißt
biholomorph,
wenn sie
bijektiv
und ihre
Umkehrabbildung
ebenfalls holomorph ist.
Zu komplexen Zahlen
mit
nennt man die Abbildung
eine gebrochen-lineare Funktion.
Unter der
oberen Halbebene
in versteht man
Es sei
und
reelle Zahlen. Unter dem
offenen Kreisring
versteht man die Menge
Es sei
und
eine reelle Zahl. Unter der
punktierten Kreisscheibe
(mit Mittelpunkt
und Radius
)
versteht man die Menge
Es seien
und
Vektorräume
über den
komplexen Zahlen
. Eine
Abbildung
heißt antilinear (oder semilinear), wenn
für alle
und wenn
für alle
und
gilt.
Es seien
und
endlichdimensionale
-
Vektorräume,
eine
offene Menge
und
eine Abbildung. Dann heißt
differenzierbar
(oder total differenzierbar )
im Punkt
,
wenn es eine
-
lineare Abbildung
mit der Eigenschaft
gibt, wobei
eine in
stetige Abbildung
mit
ist und die Gleichung für alle
mit
gilt.
Diese lineare Abbildung heißt, falls sie existiert, das (totale) Differential von
an der Stelle
und wird mit
bezeichnet.
Es sei
offen
und sei
eine reell total differenzierbare Abbildung. Dann nennt man
die
holomorphe Ableitung
von .
Es sei
offen
und sei
eine reell total differenzierbare Abbildung. Dann nennt man
die
antiholomorphe Ableitung
von .
Eine lineare Abbildung
zwischen
euklidischen Vektorräumen
und
heißt
winkeltreu,
wenn für je zwei Vektoren
die Beziehung
gilt.
Eine stetige Abbildung
zwischen
topologischen Räumen
und
heißt
offen,
wenn
Bilder
von
offenen Mengen
wieder offen sind.
Man sagt, dass eine
Reihe
von
komplexen Zahlen
konvergiert, wenn die
Folge
der Partialsummen
konvergiert.
Eine Reihe
von komplexen Zahlen heißt absolut konvergent, wenn die Reihe
konvergiert.
Zu
Reihen
und
komplexer Zahlen
heißt die Reihe
das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.
Es sei eine Folge von
komplexen Zahlen
und
eine weitere komplexe Zahl. Dann heißt die
Reihe
die Potenzreihe in zu den Koeffizienten
.
Für jedes
heißt die
Reihe
Für jedes
heißt die
Reihe
die Exponentialreihe in .
Für
heißt
die Kosinusreihe zu .
Für
heißt
die Sinusreihe zu .
Es sei eine Menge und
()
eine
Folge
von
Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes
die
Folge
(in )
konvergiert.
Es sei eine Menge und
()
eine
Folge
von
Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion
derart gibt, dass es zu jedem
ein
mit
gibt.
Es sei eine Menge und
eine Funktion. Dann nennt man
das Supremum
(oder die Supremumsnorm)
von . Es ist eine
nichtnegative
reelle Zahl
oder
.
Für eine Potenzreihe
heißt
der Konvergenzradius der Potenzreihe. Das ist eine nichtnegative
reelle Zahl oder .
Es sei eine
Folge
reeller Zahlen
und es sei
die Menge der
Häufungspunkte
dieser Folge. Dann setzt man
und
und nennt diese Zahlen den Limes inferior bzw. den Limes superior der Folge.
(Wenn es keinen Häufungspunkt gibt, so ist dies als bzw. als
zu interpretieren).
Ein
kommutativer Ring
heißt lokal, wenn
genau ein
maximales Ideal
besitzt.
Ein diskreter Bewertungsring ist ein
Hauptidealbereich
mit der Eigenschaft, dass es bis auf
Assoziiertheit
genau ein
Primelement
in
gibt.
Es sei ein
Körper
und
eine Variable. Eine formale Potenzreihe in
über
ist ein Ausdruck der Form
mit
für alle
.
Es sei ein
Körper
und
eine
Potenzreihe.
Es sei
eine weitere Potenzreihe mit konstantem Term
. Dann nennt man die Potenzreihe
die eingesetzte Potenzreihe. Ihre Koeffizienten sind durch
festgelegt. Hierbei wird über alle geordneten -Tupel
summiert.
Man nennt den
Ring
aller in einer
offenen Umgebung
von
konvergenten
Potenzreihen
den
Ring der konvergenten Potenzreihen.
Für eine
komplexe Potenzreihe
und eine reelle Zahl
nennt man
die
-Norm
von
. Ihr Wert liegt in
oder ist gleich
.
Eine Funktion
auf einer
offenen Teilmenge
heißt
analytisch,
wenn sie in jedem Punkt
lokal durch eine
konvergente Potenzreihe
mit Entwicklungspunkt
beschrieben werden kann.
Es seien
endlichdimensionale
-
Vektorräume
und
eine
offene Teilmenge.
Eine
-Form
(oder Differentialform ersten Grades)
auf
mit Werten in
ist eine
Abbildung
Zu einer
offenen Menge
und einer
holomorphen Funktion
nennt man die
Differentialform
eine
holomorphe Differentialform
auf
.
Es seien
endlichdimensionale
-
Vektorräume,
sei
eine
offene Teilmenge
und sei
eine
-
Differentialform
auf
mit Werten in
. Die Differentialform
heißt exakt, wenn es eine
total differenzierbare
Abbildung
mit
gibt.
Es seien
endlichdimensionale
-
Vektorräume,
sei
eine
offene Teilmenge
und sei
eine
-wertige
differenzierbare
-
Differentialform
auf
, die bezüglich einer Basis von
mit Koordinatenfunktionen
die Beschreibung
mit -wertigen differenzierbaren Funktionen
besitze. Dann versteht man unter der
äußeren Ableitung
von die
-Form
Es seien endlichdimensionale
-
Vektorräume,
sei
eine
offene Teilmenge
und sei
eine
-wertige
differenzierbare
-
Differentialform
auf
. Die Differentialform
heißt geschlossen, wenn ihre
äußere Ableitung
ist.
Es seien endlichdimensionale
-
Vektorräume,
sei
eine
offene Teilmenge
und sei
eine
-wertige
-
Differentialform
auf
. Es sei
eine offene Menge in einem weiteren endlichdimensionalen
-Vektorraum
und
eine
total differenzierbare Abbildung.
Dann nennt man die Differentialform auf
mit Werten in
, die einem Punkt
die lineare Abbildung
zuordnet, die
zurückgezogene Differentialform.
Es seien
endlichdimensionale
-
Vektorräume,
eine
offene Menge
und
eine
messbare
-wertige
Differentialform.
Es sei
eine stetig differenzierbare Kurve. Dann heißt
das Wegintegral von längs
.
Eine Teilmenge
in einem
reellen Vektorraum
heißt
sternförmig
bezüglich eines Punktes
,
wenn für jeden Punkt
die Verbindungsstrecke
,
,
ganz in
liegt.
Eine
Laurent-Reihe
über in
ist ein formaler Ausdruck der Form
mit
.
Eine
Laurent-Reihe
über
konvergiert
in
, wenn die
Reihen
und
konvergieren.
Zu einer
Laurent-Reihe
nennt man die
Reihe
den
Hauptteil.
Zu einer
Laurent-Reihe
nennt man die
Reihe
den
Nebenteil.
Es sei
eine offene Teilmenge. Eine
meromorphe Funktion
auf
ist gegeben durch eine
diskrete Menge
und eine
holomorphe Funktion
derart, dass für jedes
der
Limes
in
existiert oder gleich
ist.
Es sei
ein
Gebiet
und
eine
meromorphe Funktion
. Es sei
und sei
die
Laurent-Entwicklung
von
in
. Dann nennt man das minimale
mit
die
Ordnung
von
in
. Sie wird mit
bezeichnet.
Es sei
eine offene Teilmenge und
.
Zu einer
meromorphen Funktion
auf
mit der
Laurent-Entwicklung
nennt man
den
Hauptteil
der Funktion in
.
Es sei
eine
offene Teilmenge,
ein Punkt und
eine
holomorphe Funktion.
Dann sagt man, dass eine
isolierte Singularität
im Punkt
besitzt.
Es sei
eine
offene Teilmenge,
ein Punkt und
eine
holomorphe Funktion.
Man sagt, dass im Punkt
eine
hebbare
Singularität
besitzt, wenn es eine holomorphe Funktion
auf
gibt, die
fortsetzt.
Es sei
eine
offene Teilmenge,
ein Punkt und
eine
holomorphe Funktion.
Man sagt, dass im Punkt
einen
Pol
besitzt, wenn
keine
hebbare Singularität
ist, und es ein
derart gibt, dass
zu einer holomorphen Funktion auf
fortsetzbar ist.
Es sei
eine
offene Teilmenge,
ein Punkt und
eine
holomorphe Funktion.
Man sagt, dass im Punkt
eine
wesentliche Singularität
besitzt, wenn
weder eine
hebbare Singularität
noch ein
Pol
von
ist.
Es sei
eine
holomorphe Funktion
auf einer
punktierten Kreisscheibe.
Es sei die
Laurent-Entwicklung
von
. Dann nennt man den Koeffizienten
das
Residuum
von
in
. Es wird mit
bezeichnet.
Es sei
und seien
stetige Wege
in einen
topologischen Raum
mit der Eigenschaft, dass
und
gilt. Eine Homotopie relativ zu
zwischen
und
ist eine stetige Abbildung
die die folgenden Eigenschaften erfüllt.
für alle
.
für alle
.
für alle
.
für alle
.
Es sei ein
topologischer Raum
und
ein Punkt. Unter der
Fundamentalgruppe
von
mit Aufpunkt
versteht man die Menge aller
Homotopieklassen
von
stetigen
geschlossenen Wege
mit Anfangs- und Endpunkt
mit der
Hintereinanderlegung von Wegen
als Verknüpfung.
Ein
topologischer Raum
heißt einfach zusammenhängend, wenn er
wegzusammenhängend
ist und wenn jeder stetige
geschlossene Weg
in
nullhomotop
ist.
Ein
topologischer Raum
heißt
kontrahierbar
(oder
zusammenziehbar)
auf einen Punkt
,
wenn es eine
stetige Abbildung
derart gibt, dass die Eigenschaften
,
,
für alle
gelten.
Es seien
und
topologische Räume.
Eine
stetige Abbildung
heißt
Überlagerung,
wenn es eine
offene Überdeckung
und eine Familie
diskreter
topologischer Räume
,
,
derart gibt, dass
homöomorph
zu
(versehen mit der
Produkttopologie)
ist, wobei die Homöomorphien mit den Abbildungen nach
verträglich sind.
Es seien
und
topologische Räume.
Zu einer
stetigen Abbildung
und einem
stetigen Weg
nennt man einen stetigen Weg
mit
eine
Liftung
von .
Es sei
und sei
ein stetiger, geschlossener stückweise stetig differenzierbarer Weg. Dann nennt man
die
Windungszahl
von um
.
Es sei ein
topologischer Raum
und sei
()
eine
Folge
von
Funktionen.
Man sagt, dass die Funktionenfolge kompakt konvergiert, wenn sie auf jeder
kompakten Teilmenge
gleichmäßig konvergiert.
Unter einem
Gitter
in den
komplexen Zahlen
versteht man ein
vollständiges Gitter
.
Es sei
ein
Gitter.
Eine
meromorphe Funktion
heißt
elliptisch
bezüglich oder
-doppeltperiodisch,
wenn
für alle
gilt.
Es sei
ein
Gitter.
Die Menge aller
elliptischen Funktionen
bezüglich
mit der natürlichen Addition und Multiplikation nennt man den
Körper der elliptischen Funktionen.
Es sei
ein
Gitter.
Man nennt die
meromorphe Funktion
die
Weierstraßsche
-Funktion
zum Gitter
.
Es sei
ein
Gitter
und
.
Dann heißt
die
Eisensteinreihe
zum Gitter und zum Gewicht
.