Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage
Es seien , , Polynome und es sei
mit verschiedenen .
Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom und eindeutig bestimmte Koeffizienten , , , mit
Die Abbildung
die einer invertierbaren Matrix die zugehörige gebrochen-lineare Funktion zuordnet,
ist ein Gruppenhomomorphismus, dessen Bild die Gruppe der gebrochen-linearen Abbildungen ist und dessen Kern aus den Streckungsmatrizen mit besteht.
Es sei offen und eine reell total differenzierbare Abbildung.
Genau dann ist auf komplex differenzierbar, wenn auf gilt.
In diesem Fall ist
Es sei offen und eine reell total differenzierbare Abbildung derart, dass das totale Differential in jedem Punkt invertierbar sei.
Dann ist auf genau dann komplex differenzierbar, wenn in jedem Punkt winkeltreu und orientierungstreu ist.
Es sei offen und eine im Punkt reell total differenzierbare Abbildung. Es sei mit reellwertigen Funktionen . Sei .
Dann ist genau dann in komplex differenzierbar, wenn für die reellen partiellen Ableitungen die Beziehungen
gelten.
Es sei eine offene Teilmenge, ein Punkt und eine holomorphe Funktion mit .
Dann gibt es eine offene Umgebung und eine offene Umgebung derart, dass die Einschränkung von auf biholomorph zu ist.
Es sei eine offene Menge, ein Punkt und eine holomorphe Funktion mit . Es sei .
Dann gibt es eine offene Umgebung und eine holomorphe Funktion mit .
Für komplexe Zahlen gilt
Es sei eine Folge komplexer Zahlen und . Die Potenzreihe
sei für eine komplexe Zahl , , konvergent.
Dann ist für jeden reellen Radius mit die Potenzreihe auf der abgeschlossenen Kreisscheibe punktweise absolut und gleichmäßig konvergent.
Es sei
eine Potenzreihe mit einem positiven Konvergenzradius .
Dann stellt die Potenzreihe auf der offenen Kreisscheibe eine stetige Funktion dar.
Es sei
eine konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius und sei .
Dann gibt es eine konvergente Potenzreihe
mit Entwicklungspunkt und mit einem Konvergenzradius derart, dass die durch diese beiden Potenzreihen dargestellten Funktionen auf übereinstimmen.
Die Koeffizienten von sind
und insbesondere ist
Für den Konvergenzradius einer komplexen Potenzreihe
gilt
Es sei eine Potenzreihe mit positivem Konvergenzradius und derart, dass die Nullstellen von einen Häufungspunkt innerhalb der offenen Konvergenzscheibe besitzen.
Dann liegt die Nullreihe vor.
Es sei
konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius .
Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe
konvergent mit demselben Konvergenzradius. Die durch die Potenzreihe dargestellte Funktion ist in jedem Punkt differenzierbar mit
Es sei ein Körper und sei der Ring der formalen Potenzreihen in einer Variablen.
Dann ist eine formale Potenzreihe genau dann eine Einheit, wenn der konstante Term ist.
Es sei ein Körper und der Potenzreihenring in einer Variablen.
Dann ist ein diskreter Bewertungsring.
Es sei ein Körper mit dem Potenzreihenring . Es sei eine Potenzreihe mit und .
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Potenzreihe mit
Es seien endlichdimensionale - Vektorräume, sei eine offene Teilmenge und sei eine -wertige exakte stetig differenzierbare - Differentialform auf .
Dann ist geschlossen.
Es sei offen, sei eine Abbildung mit reell total differenzierbare reellwertigen Koeffizientenfunktionen . Wir betrachten die -wertige Differentialform auf mit der Darstellung
Dann ist genau dann komplex differenzierbar, wenn eine geschlossene Differentialform ist.
Es seien endlichdimensionale - Vektorräume, sei eine offene Teilmenge und sei eine -wertige stetige - Differentialform auf . Es sei
ein stückweise stetig differenzierbarer Weg. Es sei exakt mit der Stammform .
Dann ist
Es seien endlichdimensionale - Vektorräume, sei eine sternförmige offene Teilmenge und sei eine -wertige stetig differenzierbare - Differentialform auf . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- Es ist exakt.
- Es ist geschlossen.
- Für jeden stetig differenzierbaren Weg hängt das Wegintegral nur vom Anfangspunkt und Endpunkt ab.
Es sei eine offene Menge, eine komplex differenzierbare Funktion und sei ein achsenparalleles abgeschlossenes Quadrat, und sei
der stetige stückweise lineare Weg, der den Rand von gleichmäßig durchläuft.
Dann ist
Es sei eine offene Menge, eine komplex differenzierbare Funktion. Es sei eine abgeschlossene Kreisscheibe und es sei
der stetige Weg, der den Rand von gleichmäßig durchläuft.
Dann ist
Es seien und seien Radien gegeben mit . Es sei eine offene Menge, die umfasst. Es sei eine komplex differenzierbare Funktion.
Dann gilt für die gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Randwege bzw. der beiden Kreise die Gleichheit
Es sei eine offene Menge, eine komplex differenzierbare Funktion. Es sei eine abgeschlossene Kreisscheibe und es sei
der stetige Weg, der den Rand von gleichmäßig durchläuft. Es sei .
Dann ist
Es sei offen, eine komplex differenzierbare Funktion und ein Punkt.
Dann wird in einer Umgebung von durch die Potenzreihe beschrieben, wobei die Koeffizienten durch
gegeben sind, und einen einfachen Umlaufweg um innerhalb von bezeichnet.
Für eine auf einer offenen Menge definierte Funktion
sind folgende Aussagen äquivalent.
- ist komplex differenzierbar.
- ist unendlich oft (stetig) komplex differenzierbar.
- lässt sich in jedem Punkt in eine Potenzreihe entwickeln, d.h. ist komplex-analytisch.
Es sei offen, ein Punkt und eine holomorphe Funktion. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
- Es gibt eine stetige Fortsetzung
von .
- Der Betrag von ist in einer offenen Umgebung von beschränkt.
- Es ist
- Es gibt eine holomorphe Fortsetzung
von .
Es sei eine zusammenhängende offene Teilmenge und eine von der Nullfunktion verschiedene holomorphe Funktion.
Dann ist die Nullstellenmenge von diskret und abgeschlossen (in ).
Es sei eine zusammenhängende offene Teilmenge und seien holomorphe Funktionen. Die Übereinstimmungsmenge von und , also besitze einen Häufungspunkt in .
Dann ist .
Es sei ein Gebiet und sei eine holomorphe Funktion mit der Eigenschaft: Es gebe einen Punkt mit
für alle .
Dann ist konstant.
Es sei eine holomorphe Funktion, die beschränkt sei.
Dann ist konstant.
Jedes nichtkonstante Polynom über den komplexen Zahlen
besitzt eine Nullstelle.
Es sei eine nichtkonstante holomorphe Funktion auf einer zusammenhängenden offenen Teilmenge .
Dann ist offen.
Es sei eine holomorphe Funktion auf einer offenen Menge , und sei injektiv.
Dann ist die Ableitung nullstellenfrei.
Es seien reelle Zahlen (wobei für auch erlaubt ist), ein Punkt und sei eine holomorphe Funktion auf dem offenen Kreisring
Dann gibt es eine auf konvergente Laurent-Reihe , die dort darstellt.
Für die Koeffizienten der Laurent-Reihe gilt
wobei eine einfache Umrundung von im Kreisring ist.
Es sei eine offene Teilmenge,
ein Punkt und
eine holomorphe Funktion. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- besitzt in eine wesentliche Singularität.
- Für jede offene Kreisscheibenumgebung ist das Bild dicht in .
Es sei eine Überlagerung, ein stetiger Weg und ein Punkt mit .
Dann gibt es genau einen stetigen Weg
mit der Eigenschaft, dass und ist.
Es sei eine auf einer offenen Menge definierte holomorphe Funktion und seien
stetige Wege mit und , die zueinander homotop seien.
Dann ist
Es sei ein einfach zusammenhängendes Gebiet, eine endliche Teilmenge,
ein geschlossener stetiger Weg und sei
eine holomorphe Funktion.
Dann ist
wobei über alle Punkte summiert wird.
Es sei ein Gebiet und sei eine Folge von holomorphen Funktionen, die gegen die Grenzfunktion kompakt konvergiert.
Dann ist holomorph.
Die Folge der Ableitungsfunktionen konvergiert kompakt gegen .
Es sei ein Gebiet und sei
eine Folge von holomorphen Funktionen, die gegen die Grenzfunktion kompakt konvergiert. Es sei und für jedes sei die Gesamtvielfachheit der -Stellen höchstens .
Dann ist konstant gleich , oder die Gesamtvielfachheit von unter ist ebenfalls höchstens .
Es sei eine einfach zusammenhängende offene Teilmenge mit .
Dann ist biholomorph zur offenen Kreisscheibe .
Jedes Gitter in
ist streckungsäquivalent zu einem Gitter der Form mit .
Es sei ein Gitter.
Dann wird der Körper der elliptischen Funktionen von und erzeugt, d.h. jede elliptische Funktion kann man als eine rationale Funktion in und schreiben.