Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/13/Klausur/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}


%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 2 }

\renewcommand{\avier}{ 2 }

\renewcommand{\afuenf}{ 2 }

\renewcommand{\asechs}{ 2 }

\renewcommand{\asieben}{ 4 }

\renewcommand{\aacht}{ 4 }

\renewcommand{\aneun}{ 2 }

\renewcommand{\azehn}{ 4 }

\renewcommand{\aelf}{ 3 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 2 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 2 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 1 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ 3 }

\renewcommand{\azwanzig}{ 6 }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 5 }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ 64 }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabelleeinundzwanzig


\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {leere} {} Menge.

}{Die \stichwort {Identität} {} auf einer Menge $M$.

}{Die \stichwort {Multiplikation} {}
\mathl{a \cdot b}{} von natürlichen Zahlen
\mathl{a,b}{.}

}{Das \stichwort {Minimum} {} zu einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}{Eine \stichwort {Gruppe} {.}

}{Eine \stichwort {lineare} {} Funktion \maabb {f} {K} {K } {} auf einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Die \stichwort {erste binomische Formel} {} für einen kommutativen Halbring.}{Der Satz über die Division mit Rest für die ganzen Zahlen.}{Der Satz über die Konvergenz einer Dezimalbruchfolge.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Beschreibe mit Quantoren die Eigenschaft einer Abbildung \maabbdisp {F} {L} {M } {,} konstant zu sein.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2 (1+1)}
{

Wir betrachten auf der Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \{a,b,c,d \} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die durch die Tabelle %Daten für folgende Tabelle


\renewcommand{\leitzeilenull}{ $\star$ }

\renewcommand{\leitzeileeins}{ $a$ }

\renewcommand{\leitzeilezwei}{ $b$ }

\renewcommand{\leitzeiledrei}{ $c$ }

\renewcommand{\leitzeilevier}{ $d$ }

\renewcommand{\leitzeilefuenf}{ }

\renewcommand{\leitzeilesechs}{ }

\renewcommand{\leitzeilesieben}{ }

\renewcommand{\leitzeileacht}{ }

\renewcommand{\leitzeileneun}{ }

\renewcommand{\leitzeilezehn}{ }

\renewcommand{\leitzeileelf}{ }

\renewcommand{\leitzeilezwoelf}{ }


\renewcommand{\leitspaltenull}{ }

\renewcommand{\leitspalteeins}{ $a$ }

\renewcommand{\leitspaltezwei}{ $b$ }

\renewcommand{\leitspaltedrei}{ $c$ }

\renewcommand{\leitspaltevier}{ $d$ }

\renewcommand{\leitspaltefuenf}{ }

\renewcommand{\leitspaltesechs}{ }

\renewcommand{\leitspaltesieben}{ }

\renewcommand{\leitspalteacht}{ }

\renewcommand{\leitspalteneun}{ }

\renewcommand{\leitspaltezehn}{ }

\renewcommand{\leitspalteelf}{ }

\renewcommand{\leitspaltezwoelf}{ }

\renewcommand{\leitspaltedreizehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltevierzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltefuenfzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltesechzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltesiebzehn}{ }

\renewcommand{\leitspalteachtzehn}{ }

\renewcommand{\leitspalteneunzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltezwanzig}{ }



\renewcommand{\aeinsxeins}{ b }

\renewcommand{\aeinsxzwei}{ a }

\renewcommand{\aeinsxdrei}{ c }

\renewcommand{\aeinsxvier}{ a }

\renewcommand{\aeinsxfuenf}{ }

\renewcommand{\aeinsxsechs}{ }

\renewcommand{\aeinsxsieben}{ }

\renewcommand{\aeinsxacht}{ }

\renewcommand{\aeinsxneun}{ }

\renewcommand{\aeinsxzehn}{ }

\renewcommand{\aeinsxelf}{ }

\renewcommand{\aeinsxzwoelf}{ }



\renewcommand{\azweixeins}{ d }

\renewcommand{\azweixzwei}{ a }

\renewcommand{\azweixdrei}{ b }

\renewcommand{\azweixvier}{ b }

\renewcommand{\azweixfuenf}{ }

\renewcommand{\azweixsechs}{ }

\renewcommand{\azweixsieben}{ }

\renewcommand{\azweixacht}{ }

\renewcommand{\azweixneun}{ }

\renewcommand{\azweixzehn}{ }

\renewcommand{\azweixelf}{ }

\renewcommand{\azweixzwoelf}{ }



\renewcommand{\adreixeins}{ a }

\renewcommand{\adreixzwei}{ b }

\renewcommand{\adreixdrei}{ c }

\renewcommand{\adreixvier}{ c }

\renewcommand{\adreixfuenf}{ }

\renewcommand{\adreixsechs}{ }

\renewcommand{\adreixsieben}{ }

\renewcommand{\adreixacht}{ }

\renewcommand{\adreixneun}{ }

\renewcommand{\adreixzehn}{ }

\renewcommand{\adreixelf}{ }

\renewcommand{\adreixzwoelf}{ }



\renewcommand{\avierxeins}{ b }

\renewcommand{\avierxzwei}{ d }

\renewcommand{\avierxdrei}{ d }

\renewcommand{\avierxvier}{ d }

\renewcommand{\avierxfuenf}{ }

\renewcommand{\avierxsechs}{ }

\renewcommand{\avierxsieben}{ }

\renewcommand{\avierxacht}{ }

\renewcommand{\avierxneun}{ }

\renewcommand{\avierxzehn}{ }

\renewcommand{\avierxelf}{ }

\renewcommand{\avierxzwoelf}{ }


\renewcommand{\afuenfxeins}{ }

\renewcommand{\afuenfxzwei}{ }

\renewcommand{\afuenfxdrei}{ }

\renewcommand{\afuenfxvier}{ }

\renewcommand{\afuenfxfuenf}{ }

\renewcommand{\afuenfxsechs}{ }

\renewcommand{\afuenfxsieben}{ }

\renewcommand{\afuenfxacht}{ }

\renewcommand{\afuenfxneun}{ }

\renewcommand{\afuenfxzehn}{ }

\renewcommand{\afuenfxelf}{ }

\renewcommand{\afuenfxzwoelf}{ }


\renewcommand{\asechsxeins}{ }

\renewcommand{\asechsxzwei}{ }

\renewcommand{\asechsxdrei}{ }

\renewcommand{\asechsxvier}{ }

\renewcommand{\asechsxfuenf}{ }

\renewcommand{\asechsxsechs}{ }

\renewcommand{\asechsxsieben}{ }

\renewcommand{\asechsxacht}{ }

\renewcommand{\asechsxneun}{ }

\renewcommand{\asechsxzehn}{ }

\renewcommand{\asechsxelf}{ }

\renewcommand{\asechsxzwoelf}{ }


\renewcommand{\asiebenxeins}{ }

\renewcommand{\asiebenxzwei}{ }

\renewcommand{\asiebenxdrei}{ }

\renewcommand{\asiebenxvier}{ }

\renewcommand{\asiebenxfuenf}{ }

\renewcommand{\asiebenxsechs}{ }

\renewcommand{\asiebenxsieben}{ }

\renewcommand{\asiebenxacht}{ }

\renewcommand{\asiebenxneun}{ }

\renewcommand{\asiebenxzehn}{ }

\renewcommand{\asiebenxelf}{ }

\renewcommand{\asiebenxzwoelf}{ }


\renewcommand{\aachtxeins}{ }

\renewcommand{\aachtxzwei}{ }

\renewcommand{\aachtxdrei}{ }

\renewcommand{\aachtxvier}{ }

\renewcommand{\aachtxfuenf}{ }

\renewcommand{\aachtxsechs}{ }

\renewcommand{\aachtxsieben}{ }

\renewcommand{\aachtxacht}{ }

\renewcommand{\aachtxneun}{ }

\renewcommand{\aachtxzehn}{ }

\renewcommand{\aachtxelf}{ }

\renewcommand{\aachtxzwoelf}{ }


\renewcommand{\aneunxeins}{ }

\renewcommand{\aneunxzwei}{ }

\renewcommand{\aneunxdrei}{ }

\renewcommand{\aneunxvier}{ }

\renewcommand{\aneunxfuenf}{ }

\renewcommand{\aneunxsechs}{ }

\renewcommand{\aneunxsieben}{ }

\renewcommand{\aneunxacht}{ }

\renewcommand{\aneunxneun}{ }

\renewcommand{\aneunxzehn}{ }

\renewcommand{\aneunxelf}{ }

\renewcommand{\aneunxzwoelf}{ }


\renewcommand{\azehnxeins}{ }

\renewcommand{\azehnxzwei}{ }

\renewcommand{\azehnxdrei}{ }

\renewcommand{\azehnxvier}{ }

\renewcommand{\azehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\azehnxsechs}{ }

\renewcommand{\azehnxsieben}{ }

\renewcommand{\azehnxacht}{ }

\renewcommand{\azehnxneun}{ }

\renewcommand{\azehnxzehn}{ }

\renewcommand{\azehnxelf}{ }

\renewcommand{\azehnxzwoelf}{ }



\renewcommand{\aelfxeins}{ }

\renewcommand{\aelfxzwei}{ }

\renewcommand{\aelfxdrei}{ }

\renewcommand{\aelfxvier}{ }

\renewcommand{\aelfxfuenf}{ }

\renewcommand{\aelfxsechs}{ }

\renewcommand{\aelfxsieben}{ }

\renewcommand{\aelfxacht}{ }

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\renewcommand{\aelfxzehn}{ }

\renewcommand{\aelfxelf}{ }

\renewcommand{\aelfxzwoelf}{ }



\renewcommand{\azwoelfxeins}{ }

\renewcommand{\azwoelfxzwei}{ }

\renewcommand{\azwoelfxdrei}{ }

\renewcommand{\azwoelfxvier}{ }

\renewcommand{\azwoelfxfuenf}{ }

\renewcommand{\azwoelfxsechs}{ }

\renewcommand{\azwoelfxsieben}{ }

\renewcommand{\azwoelfxacht}{ }

\renewcommand{\azwoelfxneun}{ }

\renewcommand{\azwoelfxzehn}{ }

\renewcommand{\azwoelfxelf}{ }

\renewcommand{\azwoelfxzwoelf}{ }



\renewcommand{\adreizehnxeins}{ }

\renewcommand{\adreizehnxzwei}{ }

\renewcommand{\adreizehnxdrei}{ }

\renewcommand{\adreizehnxvier}{ }

\renewcommand{\adreizehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\adreizehnxsechs}{ }

\renewcommand{\adreizehnxsieben}{ }

\renewcommand{\adreizehnxacht}{ }

\renewcommand{\adreizehnxneun}{ }

\renewcommand{\adreizehnxzehn}{ }

\renewcommand{\adreizehnxelf}{ }

\renewcommand{\adreizehnxzwoelf}{ }



\renewcommand{\avierzehnxeins}{ }

\renewcommand{\avierzehnxzwei}{ }

\renewcommand{\avierzehnxdrei}{ }

\renewcommand{\avierzehnxvier}{ }

\renewcommand{\avierzehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\avierzehnxsechs}{ }

\renewcommand{\avierzehnxsieben}{ }

\renewcommand{\avierzehnxacht}{ }

\renewcommand{\avierzehnxneun}{ }

\renewcommand{\avierzehnxzehn}{ }

\renewcommand{\avierzehnxelf}{ }

\renewcommand{\avierzehnxzwoelf}{ }


\renewcommand{\afuenfzehnxeins}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxzwei}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxdrei}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxvier}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxsechs}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxsieben}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxacht}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxneun}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxzehn}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxelf}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxzwoelf}{ }


\renewcommand{\asechzehnxeins}{ }

\renewcommand{\asechzehnxzwei}{ }

\renewcommand{\asechzehnxdrei}{ }

\renewcommand{\asechzehnxvier}{ }

\renewcommand{\asechzehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\asechzehnxsechs}{ }

\renewcommand{\asechzehnxsieben}{ }

\renewcommand{\asechzehnxacht}{ }

\renewcommand{\asechzehnxneun}{ }

\renewcommand{\asechzehnxzehn}{ }

\renewcommand{\asechzehnxelf}{ }

\renewcommand{\asechzehnxzwoelf}{ }


\tabelleleitvierxvier

gegebene Verknüpfung $\star$. \aufzaehlungzwei {Berechne
\mathdisp {b \star ( a \star (d \star a))} { . }
} {Besitzt die Verknüpfung $\star$ ein neutrales Element? }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Es sei
\mathl{a \in R}{} ein Element in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{.} Berechne
\mathl{20 a}{} mit maximal fünf Additionen.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Es sei $M$ eine Menge und $a,b \in M$ zwei verschiedene Elemente. Definiere durch eine Fallunterscheidung eine \definitionsverweis {Bijektion}{}{} von $M$ nach $M$, die \mathkor {} {a} {und} {b} {} vertauscht, und sonst alle Elemente unverändert lässt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Beweise den Satz über die Eindeutigkeit der Multiplikation auf $\N$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei $M$ eine Menge und
\mathl{\preccurlyeq}{} eine \definitionsverweis {Ordnung}{}{} auf $M$. Zeige durch Induktion über $n \geq 2$ die Aussage: Wenn für Elemente
\mathl{a_1 , \ldots , a_n \in M}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_1 }
{ \preccurlyeq} {a_2 }
{ \preccurlyeq} { \ldots }
{ \preccurlyeq} { a_{n-1} }
{ \preccurlyeq} { a_n }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_n }
{ \preccurlyeq} { a_1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt, dann sind alle $a_1 , \ldots , a_n$ gleich.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Gabi Hochster hat sich wieder über Frau Maier-Sengupta geärgert. Sie möchte sagen \anfuehrung{Frau Maier-Sengupta ist unterbelichtet}{,} doch weil sie keinen neuen Vermerk kassieren will, ändert sie in dem Satz jeden Vokal \zusatzklammer {stellenweise} {} {} zu einem anderen Vokal \zusatzklammer {ohne Umlaute} {} {} und jeden Diphthong \zusatzklammer {für uns sind das au, ai und eu} {} {} zu einem anderen Diphthong. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Binomialkoeffizienten}{}{} die rekursive Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { n+1 } { k} }
{ =} { \binom { n } { k} + \binom { n } { k-1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllen.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es seien
\mathl{a,b,c,d}{} natürliche Zahlen mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+b }
{ =} {c+d }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \geq }{c }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d }
{ \geq }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist und dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a-c }
{ =} {d-b }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es seien
\mathl{a,b,c,d}{} positive natürliche Zahlen. Es sei $b$ ein Teiler von $a$ und $d$ ein Teiler von $c$. Ferner sei
\mathl{{ \frac{ c }{ d } }}{} ein Teiler von
\mathl{{ \frac{ a }{ b } }}{.} Zeige, dass dann $bc$ ein Teiler von $ad$ ist, und dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \, \, { \frac{ a }{ b } } \, \, }{ \, \, { \frac{ c }{ d } } \, \, } } }
{ =} { { \frac{ ad }{ bc } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Zeige, dass es zu ganzen Zahlen $d,n$ mit $d>0$ eindeutig bestimmte ganze Zahlen $k,s$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n }
{ =} {k d+s }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ - { \frac{ d }{ 2 } } }
{ <} { s }
{ \leq} { { \frac{ d }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Bestimme den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} von \mathkor {} {3146} {und} {1515} {} und gebe eine Darstellung des $\operatorname{ggT}$ von \mathkor {} {3146} {und} {1515} {} mittels dieser Zahlen an.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache und den größten gemeinsamen Teiler der drei Zahlen
\mathdisp {3^4 \cdot 5^2,\, 2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^1 \cdot 7^1,\, 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5^2} { . }
Die Ergebnisse sollen ausgerechnet vorliegen.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Mustafa Müller beschließt, sich eine Woche lang ausschließlich von Schokolade seiner Lieblingssorte \anfuehrung{Gaumenfreude}{} zu ernähren. Eine Tafel besitzt einen Energiewert von
\mathl{2300}{} kJ und sein Tagesbedarf an Energie ist
\mathl{10000}{} kJ. Wie viele Tafeln muss er am Tag \zusatzklammer {gerundet auf zwei Nachkommastellen} {} {} und wie viele Tafeln muss er in der Woche essen?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Zeige, dass für die Differenz von rationalen Zahlen die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ a }{ b } } - { \frac{ c }{ d } } }
{ =} { { \frac{ ad-bc }{ bd } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{1}
{

An der Tafel steht der Bruch
\mathdisp {{ \frac{ 541000 }{ 3520000 } }} { , }
es ist aber nicht klar, auf welches Stellensystem er sich bezieht. Welche Vereinfachung kann man auf jeden Fall vornehmen?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Beweise den Satz über die algebraische Struktur der Dezimalbrüche.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6 (3+2+1)}
{

In einer Äpfelpackung befinden sich stets sechs Äpfel, die zusammen ein Kilo wiegen sollen, wobei eine Toleranz zwischen $995$ und
\mathl{1005}{} Gramm erlaubt ist. Der kleinste Apfel in der Packung muss mindestens $90$ Prozent des Gewichts des größten Apfels der Packung haben. \aufzaehlungdrei{Wie schwer \zusatzklammer {in gerundeten Gramm} {} {} kann ein Apfel in einer Packung maximal sein? }{Wie leicht \zusatzklammer {in gerundeten Gramm} {} {} kann ein Apfel in einer Packung minimal sein? }{Um wie viel Prozent ist der größtmögliche Apfel schwerer als der kleinstmögliche Apfel? }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Man gebe explizit ein $m$ mit der Eigenschaft an, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1,03^n }
{ \geq} { n^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}