Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/13/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	${}\sum$
Punkte	3	3	2	2	2	2	4	4	2	4	3	4	4	3	3	2	2	1	3	6	5	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die leere Menge.
2. Die Identität auf einer Menge ${}M$.
3. Die Multiplikation ${}a\cdot b$ von natürlichen Zahlen ${}a,b$.
4. Das Minimum zu einer Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {N}$.
5. Eine Gruppe.
6. Eine lineare Funktion ${}f\colon K\rightarrow K$ auf einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die erste binomische Formel für einen kommutativen Halbring.
2. Der Satz über die Division mit Rest für die ganzen Zahlen.
3. Der Satz über die Konvergenz einer Dezimalbruchfolge.

Aufgabe * (2 Punkte)

Beschreibe mit Quantoren die Eigenschaft einer Abbildung

$F\colon L\longrightarrow M,$

konstant zu sein.

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten auf der Menge

${}M=\{a,b,c,d\}\,$

die durch die Tabelle

${}\star$	${}a$	${}b$	${}c$	${}d$
${}a$	${}b$	${}a$	${}c$	${}a$
${}b$	${}d$	${}a$	${}b$	${}b$
${}c$	${}a$	${}b$	${}c$	${}c$
${}d$	${}b$	${}d$	${}d$	${}d$

gegebene Verknüpfung ${}\star$.

1. Berechne

   $b\star (a\star (d\star a)).$

2. Besitzt die Verknüpfung ${}\star$ ein neutrales Element?

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}a\in R$ ein Element in einem kommutativen Ring. Berechne ${}20a$ mit maximal fünf Additionen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}a,b\in M$ zwei verschiedene Elemente. Definiere durch eine Fallunterscheidung eine Bijektion von ${}M$ nach ${}M$, die ${}a$ und ${}b$ vertauscht, und sonst alle Elemente unverändert lässt.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Eindeutigkeit der Multiplikation auf ${}\mathbb {N}$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}\preccurlyeq$ eine Ordnung auf ${}M$. Zeige durch Induktion über ${}n\geq 2$ die Aussage: Wenn für Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in M$ die Beziehung

${}a_{1}\preccurlyeq a_{2}\preccurlyeq \ldots \preccurlyeq a_{n-1}\preccurlyeq a_{n}\,$

und

${}a_{n}\preccurlyeq a_{1}\,$

gilt, dann sind alle ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ gleich.

Aufgabe * (2 Punkte)

Gabi Hochster hat sich wieder über Frau Maier-Sengupta geärgert. Sie möchte sagen „Frau Maier-Sengupta ist unterbelichtet“, doch weil sie keinen neuen Vermerk kassieren will, ändert sie in dem Satz jeden Vokal (stellenweise) zu einem anderen Vokal (ohne Umlaute) und jeden Diphthong (für uns sind das au, ai und eu) zu einem anderen Diphthong. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür?

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Binomialkoeffizienten die rekursive Beziehung

${}{\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}\,$

erfüllen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien ${}a,b,c,d$ natürliche Zahlen mit

${}a+b=c+d\,.$

Es sei ${}a\geq c$. Zeige, dass dann ${}d\geq b$ ist und dass

${}a-c=d-b\,$

gilt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ${}a,b,c,d$ positive natürliche Zahlen. Es sei ${}b$ ein Teiler von ${}a$ und ${}d$ ein Teiler von ${}c$. Ferner sei ${}{\frac {c}{d}}$ ein Teiler von ${}{\frac {a}{b}}$. Zeige, dass dann ${}bc$ ein Teiler von ${}ad$ ist, und dass die Beziehung

${}{\frac {\,\,{\frac {a}{b}}\,\,}{\,\,{\frac {c}{d}}\,\,}}={\frac {ad}{bc}}\,$

gilt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass es zu ganzen Zahlen ${}d,n$ mit ${}d>0$ eindeutig bestimmte ganze Zahlen ${}k,s$ mit

${}n=kd+s\,$

und mit

${}-{\frac {d}{2}}<s\leq {\frac {d}{2}}\,$

gibt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man bestimme den größten gemeinsamen Teiler von ${}3146$ und ${}1515$ und man gebe eine Darstellung des ${}\operatorname {ggT}$ von ${}3146$ und ${}1515$ mittels dieser Zahlen an.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache und den größten gemeinsamen Teiler der drei Zahlen

$3^{4}\cdot 5^{2},\,2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5^{1}\cdot 7^{1},\,2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}.$

Die Ergebnisse sollen ausgerechnet vorliegen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Mustafa Müller beschließt, sich eine Woche lang ausschließlich von Schokolade seiner Lieblingssorte „Gaumenfreude“ zu ernähren. Eine Tafel besitzt einen Energiewert von ${}2300$ kJ und sein Tagesbedarf an Energie ist ${}10000$ kJ. Wie viele Tafeln muss er am Tag (gerundet auf zwei Nachkommastellen) und wie viele Tafeln muss er in der Woche essen?

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass für die Differenz von rationalen Zahlen die Gleichheit

${}{\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}\,$

gilt.

Aufgabe * (1 Punkt)

An der Tafel steht der Bruch

${\frac {541000}{3520000}},$

es ist aber nicht klar, auf welches Stellensystem er sich bezieht. Welche Vereinfachung kann man auf jeden Fall vornehmen?

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz über die algebraische Struktur der Dezimalbrüche.

Aufgabe * (6 (3+2+1) Punkte)

In einer Äpfelpackung befinden sich stets sechs Äpfel, die zusammen ein Kilo wiegen sollen, wobei eine Toleranz zwischen ${}995$ und ${}1005$ Gramm erlaubt ist. Der kleinste Apfel in der Packung muss mindestens ${}90$ Prozent des Gewichts des größten Apfels der Packung haben.

1. Wie schwer (in gerundeten Gramm) kann ein Apfel in einer Packung maximal sein?
2. Wie leicht (in gerundeten Gramm) kann ein Apfel in einer Packung minimal sein?
3. Um wie viel Prozent ist der größtmögliche Apfel schwerer als der kleinstmögliche Apfel?

Aufgabe * (5 Punkte)

Man gebe explizit ein ${}m$ mit der Eigenschaft an, dass für alle ${}n\geq m$ die Abschätzung

${}1,03^{n}\geq n^{2}\,$

gilt.