Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/13/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Punkte 3 3 2 2 2 2 4 4 2 4 3 4 4 3 3 2 2 1 3 6 5 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die leere Menge.
  2. Die Identität auf einer Menge .
  3. Die Multiplikation von natürlichen Zahlen .
  4. Das Minimum zu einer Teilmenge .
  5. Eine Gruppe.
  6. Eine lineare Funktion auf einem Körper .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die erste binomische Formel für einen kommutativen Halbring.
  2. Der Satz über die Division mit Rest für die ganzen Zahlen.
  3. Der Satz über die Konvergenz einer Dezimalbruchfolge.


Aufgabe * (2 Punkte)

Beschreibe mit Quantoren die Eigenschaft einer Abbildung

konstant zu sein.


Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten auf der Menge

die durch die Tabelle

gegebene Verknüpfung .

  1. Berechne
  2. Besitzt die Verknüpfung ein neutrales Element?


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein Element in einem kommutativen Ring. Berechne mit maximal fünf Additionen.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei eine Menge und zwei verschiedene Elemente. Definiere durch eine Fallunterscheidung eine Bijektion von nach , die und vertauscht, und sonst alle Elemente unverändert lässt.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Eindeutigkeit der Multiplikation auf .


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine Menge und eine Ordnung auf . Zeige durch Induktion über die Aussage: Wenn für Elemente die Beziehung

und

gilt, dann sind alle gleich.


Aufgabe * (2 Punkte)

Gabi Hochster hat sich wieder über Frau Maier-Sengupta geärgert. Sie möchte sagen „Frau Maier-Sengupta ist unterbelichtet“, doch weil sie keinen neuen Vermerk kassieren will, ändert sie in dem Satz jeden Vokal (stellenweise) zu einem anderen Vokal (ohne Umlaute) und jeden Diphthong (für uns sind das au, ai und eu) zu einem anderen Diphthong. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür?


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Binomialkoeffizienten die rekursive Beziehung

erfüllen.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien natürliche Zahlen mit

Es sei . Zeige, dass dann ist und dass

gilt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien positive natürliche Zahlen. Es sei ein Teiler von und ein Teiler von . Ferner sei ein Teiler von . Zeige, dass dann ein Teiler von ist, und dass die Beziehung

gilt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass es zu ganzen Zahlen mit eindeutig bestimmte ganze Zahlen mit

und mit

gibt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von und und gebe eine Darstellung des von und mittels dieser Zahlen an.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache und den größten gemeinsamen Teiler der drei Zahlen

Die Ergebnisse sollen ausgerechnet vorliegen.


Aufgabe * (2 Punkte)

Mustafa Müller beschließt, sich eine Woche lang ausschließlich von Schokolade seiner Lieblingssorte „Gaumenfreude“ zu ernähren. Eine Tafel besitzt einen Energiewert von kJ und sein Tagesbedarf an Energie ist kJ. Wie viele Tafeln muss er am Tag (gerundet auf zwei Nachkommastellen) und wie viele Tafeln muss er in der Woche essen?


Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass für die Differenz von rationalen Zahlen die Gleichheit

gilt.


Aufgabe * (1 Punkt)

An der Tafel steht der Bruch

es ist aber nicht klar, auf welches Stellensystem er sich bezieht. Welche Vereinfachung kann man auf jeden Fall vornehmen?


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz über die algebraische Struktur der Dezimalbrüche.


Aufgabe * (6 (3+2+1) Punkte)

In einer Äpfelpackung befinden sich stets sechs Äpfel, die zusammen ein Kilo wiegen sollen, wobei eine Toleranz zwischen und Gramm erlaubt ist. Der kleinste Apfel in der Packung muss mindestens Prozent des Gewichts des größten Apfels der Packung haben.

  1. Wie schwer (in gerundeten Gramm) kann ein Apfel in einer Packung maximal sein?
  2. Wie leicht (in gerundeten Gramm) kann ein Apfel in einer Packung minimal sein?
  3. Um wie viel Prozent ist der größtmögliche Apfel schwerer als der kleinstmögliche Apfel?


Aufgabe * (5 Punkte)

Man gebe explizit ein mit der Eigenschaft an, dass für alle die Abschätzung

gilt.