Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/15/Klausur/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}


%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 1 }

\renewcommand{\avier}{ 1 }

\renewcommand{\afuenf}{ 3 }

\renewcommand{\asechs}{ 8 }

\renewcommand{\asieben}{ 5 }

\renewcommand{\aacht}{ 2 }

\renewcommand{\aneun}{ 5 }

\renewcommand{\azehn}{ 2 }

\renewcommand{\aelf}{ 2 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 6 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 2 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 1 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ 5 }

\renewcommand{\azwanzig}{ 1 }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 64 }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellezwanzig


\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Teilmenge} {} $T$ einer Menge $M$.

}{Die \stichwort {Umkehrabbildung} {} zu einer bijektiven Abbildung \maabb {F} {L} {M} {.}

}{Ein \stichwort {neutrales Element} {}
\mathl{e \in M}{} zu einer \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} \maabbeledisp {\circ} {M \times M} {M } {(x,y)} {x \circ y } {.}

}{Eine \stichwort {kommutative} {} Gruppe.

}{Ein \stichwort {angeordneter} {} Körper.

}{Die \stichwort {Konvergenz} {} einer Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem angeordneten Körper $K$ gegen $x \in K$. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Zifferndarstellung natürlicher Zahlen.}{Der Satz über die Charakterisierung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen und des größten gemeinsamen Teilers von zwei positiven natürlichen Zahlen mit der Hilfe von $p$-Exponenten.}{Der Satz über die Periodizitätseigenschaft bei der Division natürlicher Zahlen.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{1}
{

Wie oft sagt man \anfuehrung{bitte}{,} wenn man dreimal \anfuehrung{bitte, bitte, bitte}{} sagt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{1}
{

Petra fliegt zu ihrer ersten internationalen Konferenz. Als sie auf dem Weg zum Flughafen ihre Wohnung \zusatzklammer {sie wohnt allein} {} {} verlässt und gerade die Wohnungstür zugemacht hat, merkt sie \aufzaehlungdrei{Sie hat ihr Flugticket auf dem Schreibtisch vergessen. }{Sie hat ihre Schlüssel auf dem Schreibtisch vergessen. }{Sie hat ihren Reisepass auf dem Schreibtisch vergessen. } Was ist am schlimmsten?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es sei $G$ eine zweielementige Menge. Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Verknüpfung \anfuehrung{Vereinigung}{} auf der \definitionsverweis {Potenzmenge}{}{}
\mathl{\mathfrak {P} \, (G )}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{8 (2+1+1+2+2)}
{

Wir betrachten die Differenz von ganzen Zahlen als eine Verknüpfung \maabbeledisp {} {\Z \times \Z} { \Z } {(x,y)} {x-y } {.} \aufzaehlungfuenf{Erstelle die möglichen Klammerungen für die Differenz von vier ganzen Zahlen
\mathl{a,b,c,d}{.} }{Welche Klammerung verbirgt sich üblicherweise hinter dem Ausdruck
\mathl{a-b-c-d}{?} }{Welches Ergebnis könnte für Kinder bei
\mathl{3-3-3-3}{} verlockend sein? }{Schreiben sie die Möglichkeiten aus (1) als eine Addition von eventuell negativ genommenen Zahlen. }{Wie viele unterschiedliche Ergebnisse kann es in (1) geben? }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Sei $G$ eine Menge, die als \definitionsverweis {disjunkte Vereinigung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G }
{ =} { A \uplus B }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben ist. Definiere eine Bijektion zwischen der \definitionsverweis {Potenzmenge}{}{}
\mathl{\mathfrak {P} \, ( G )}{} und der \definitionsverweis {Produktmenge}{}{}
\mathl{\mathfrak {P} \, (A ) \times \mathfrak {P} \, (B )}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Am Weihnachtsbaum gibt es $10$ Kerzen. Berechne die Anzahl der Reihenfolgen, wie die Kerzen angezündet werden können.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Beweise den binomischen Lehrsatz für einen kommutativen Halbring $R$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Seien
\mathl{a,b \in \Z}{.} Zeige, dass $a$ die Zahl $b$ teilt, wenn
\mathl{\betrag { a }}{} die Zahl
\mathl{\betrag { b }}{} teilt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Führe im Zehnersystem die Subtraktion
\mathdisp {572103 - 569217} { }
schriftlich durch.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6}
{

Beweise das Lemma von Bezout für teilerfremde natürliche Zahlen \mathkor {} {a} {und} {b} {} durch Induktion über das Maximum von \mathkor {} {a} {und} {b} {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Primfaktorzerlegung}{}{} von $831600$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Sei
\mathl{n \in \N_+}{.} Zeige, dass das Produkt von $n$ aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen von $n!$ geteilt wird.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es stehen zwei Gläser auf einem Tisch, wobei das eine mit Rotwein und das andere mit Weißwein gefüllt ist, und zwar gleichermaßen. Nun wird ein kleineres leeres Glas \zusatzklammer {ein Fingerhut oder ein Schnapsglas} {} {} in das Rotweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Weißweinglas überführt und dort gleichmäßig vermischt \zusatzklammer {insbesondere gibt es Platz für diese Hinzugabe} {} {.} Danach wird das kleinere Glas in das Weißweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Rotweinglas überführt. Befindet sich zum Schluss im Rotweinglas mehr Rotwein als im Weißweinglas Weißwein?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Eine Termitenkönigin legt
\mathl{36 000}{} Eier pro Tag und lebt zwanzig Jahre lang. Wie viele Eier legt sie in ihrem Leben?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Bestimme die ganzzahligen Lösungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der Ungleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \,\, { \frac{ 3 }{ x } } \,\, }{ \,\, { \frac{ -7 }{ 4 } } \,\, } } }
{ >} { -1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{1}
{

Berechne die Gaußklammer von
\mathl{ - { \frac{ 133 }{ 33 } } }{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5 (2+3)}
{

\aufzaehlungzwei {Bestimme die \definitionsverweis {Stammbrüche}{}{,} die zugleich \definitionsverweis {Dezimalbrüche}{}{} und größer als
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 100 } }}{} sind, und liste sie in absteigender Reihenfolge auf. } {Wie viele rationale Zahlen, die sowohl Stammbrüche als auch Dezimalbrüche sind, gibt es zwischen \mathkor {} {{ \frac{ 1 }{ 1000 } }} {und} {1} {} \zusatzklammer {einschließlich} {} {.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{1}
{

Negiere die Aussage, dass eine Folge
\mathl{x_n}{} in einem angeordneten Körper gegen $x$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{,} durch Umwandlung der Quantoren.

}
{} {}