Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/15/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 1 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 8 }
\renewcommand{\asieben}{ 5 }
\renewcommand{\aacht}{ 2 }
\renewcommand{\aneun}{ 5 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 1 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 6 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 1 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 5 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 1 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellezwanzig
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Teilmenge} {} $T$ einer Menge $M$.
}{Die \stichwort {Umkehrabbildung} {} zu einer bijektiven Abbildung \maabb {F} {L} {M} {.}
}{Ein \stichwort {neutrales Element} {}
\mathl{e \in M}{} zu einer \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\maabbeledisp {\circ} {M \times M} {M
} {(x,y)} {x \circ y
} {.}
}{Eine \stichwort {kommutative} {} Gruppe.
}{Ein \stichwort {angeordneter} {} Körper.
}{Die \stichwort {Konvergenz} {} einer Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem angeordneten Körper $K$ gegen $x \in K$.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Zifferndarstellung natürlicher Zahlen.}{Der Satz über die Charakterisierung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen und des größten gemeinsamen Teilers von zwei positiven natürlichen Zahlen mit der Hilfe von $p$-Exponenten.}{Der Satz über die Periodizitätseigenschaft bei der Division natürlicher Zahlen.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Wie oft sagt man \anfuehrung{bitte}{,} wenn man dreimal \anfuehrung{bitte, bitte, bitte}{} sagt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Petra fliegt zu ihrer ersten internationalen Konferenz. Als sie auf dem Weg zum Flughafen ihre Wohnung \zusatzklammer {sie wohnt allein} {} {} verlässt und gerade die Wohnungstür zugemacht hat, merkt sie \zusatzklammer {eine der drei Möglichkeiten} {} {} \aufzaehlungdrei{Sie hat ihr Flugticket auf dem Schreibtisch vergessen. }{Sie hat ihre Schlüssel auf dem Schreibtisch vergessen. }{Sie hat ihren Reisepass auf dem Schreibtisch vergessen. } Was ist am schlimmsten?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $G$ eine zweielementige Menge. Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Verknüpfung \anfuehrung{Vereinigung}{} auf der
\definitionsverweis {Potenzmenge}{}{}
\mathl{\mathfrak {P} \, (G )}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8 (2+1+1+2+2)}
{
Wir betrachten die Differenz von ganzen Zahlen als eine Verknüpfung
\maabbeledisp {} {\Z \times \Z} { \Z
} {(x,y)} {x-y
} {.}
\aufzaehlungfuenf{Erstelle die möglichen Klammerungen für die Differenz von vier ganzen Zahlen
\mathl{a,b,c,d}{.}
}{Welche Klammerung verbirgt sich üblicherweise hinter dem Ausdruck
\mathl{a-b-c-d}{?}
}{Welches Ergebnis könnte für Kinder bei
\mathl{3-3-3-3}{} verlockend sein?
}{Schreiben sie die Möglichkeiten aus (1) als eine Addition von eventuell negativ genommenen Zahlen.
}{Wie viele unterschiedliche Ergebnisse kann es in (1) geben?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei $G$ eine Menge, die als
\definitionsverweis {disjunkte Vereinigung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G
}
{ =} { A \uplus B
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist. Definiere eine Bijektion zwischen der
\definitionsverweis {Potenzmenge}{}{}
\mathl{\mathfrak {P} \, ( G )}{} und der
\definitionsverweis {Produktmenge}{}{}
\mathl{\mathfrak {P} \, (A ) \times \mathfrak {P} \, (B )}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Am Weihnachtsbaum gibt es $10$ Kerzen. Berechne die Anzahl der Reihenfolgen, wie die Kerzen angezündet werden können.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise den binomischen Lehrsatz für einen kommutativen Halbring $R$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es seien
\mathl{a,b \in \Z}{.} Zeige, dass $a$ die Zahl $b$ teilt, wenn
\mathl{\betrag { a }}{} die Zahl
\mathl{\betrag { b }}{} teilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Führe im Zehnersystem die Subtraktion
\mathdisp {572103 - 569217} { }
schriftlich durch.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Beweise das Lemma von Bezout für teilerfremde natürliche Zahlen \mathkor {} {a} {und} {b} {} durch Induktion über das Maximum von \mathkor {} {a} {und} {b} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Primfaktorzerlegung}{}{} von $831600$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mathl{n \in \N_+}{.} Zeige, dass das Produkt von $n$ aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen von $n!$ geteilt wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es stehen zwei Gläser auf einem Tisch, wobei das eine mit Rotwein und das andere mit Weißwein gefüllt ist, und zwar gleichermaßen. Nun wird ein kleineres leeres Glas \zusatzklammer {ein Fingerhut oder ein Schnapsglas} {} {} in das Rotweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Weißweinglas überführt und dort gleichmäßig vermischt \zusatzklammer {insbesondere gibt es Platz für diese Hinzugabe} {} {.} Danach wird das kleinere Glas in das Weißweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Rotweinglas überführt. Befindet sich zum Schluss im Rotweinglas mehr Rotwein als im Weißweinglas Weißwein?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Eine Termitenkönigin legt
\mathl{36 000}{} Eier pro Tag und lebt zwanzig Jahre lang
\zusatzklammer {am $29$. Februar legt sie keine Eier} {} {.}
Wie viele Eier legt sie in ihrem Leben?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme die ganzzahligen Lösungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Ungleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \,\, { \frac{ 3 }{ x } } \,\, }{ \,\, { \frac{ -7 }{ 4 } } \,\, } }
}
{ >} { -1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Berechne die Gaußklammer von
\mathl{ - { \frac{ 133 }{ 33 } } }{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (2+3)}
{
\aufzaehlungzwei {Bestimme die
\definitionsverweis {Stammbrüche}{}{,}
die zugleich
\definitionsverweis {Dezimalbrüche}{}{}
und größer als
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 100 } }}{} sind, und liste sie in absteigender Reihenfolge auf.
} {Wie viele rationale Zahlen, die sowohl Stammbrüche als auch Dezimalbrüche sind, gibt es zwischen
\mathkor {} {{ \frac{ 1 }{ 1000 } }} {und} {1} {}
\zusatzklammer {einschließlich} {} {.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Negiere die Aussage, dass eine Folge
\mathl{x_n}{} in einem angeordneten Körper gegen $x$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{,}
durch Umwandlung der Quantoren.
}
{} {}