Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/15/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	$\sum$
Punkte	3	3	1	1	3	8	5	2	5	2	1	6	2	4	5	2	4	1	5	1	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Teilmenge $T$ einer Menge $M$.
2. Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung $F:L\to M$.
3. Ein neutrales Element $e\in M$ zu einer Verknüpfung

   $\circ :M\times M⟶M,(x,y)⟼x\circ y.$

4. Eine kommutative Gruppe.
5. Ein angeordneter Körper.
6. Die Konvergenz einer Folge ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ in einem angeordneten Körper $K$ gegen $x\in K$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Zifferndarstellung natürlicher Zahlen.
2. Der Satz über die Charakterisierung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen und des größten gemeinsamen Teilers von zwei positiven natürlichen Zahlen mit der Hilfe von $p$-Exponenten.
3. Der Satz über die Periodizitätseigenschaft bei der Division natürlicher Zahlen.

Aufgabe * (1 Punkt)

Wie oft sagt man „bitte“, wenn man dreimal „bitte, bitte, bitte“ sagt?

Aufgabe * (1 Punkt)

Petra fliegt zu ihrer ersten internationalen Konferenz. Als sie auf dem Weg zum Flughafen ihre Wohnung (sie wohnt allein) verlässt und gerade die Wohnungstür zugemacht hat, merkt sie (eine der drei Möglichkeiten)

1. Sie hat ihr Flugticket auf dem Schreibtisch vergessen.
2. Sie hat ihre Schlüssel auf dem Schreibtisch vergessen.
3. Sie hat ihren Reisepass auf dem Schreibtisch vergessen.

Was ist am schlimmsten?

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei $M$ eine zweielementige Menge. Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Verknüpfung „Vereinigung“ auf der Potenzmenge $𝔓(M)$.

Aufgabe * (8 (2+1+1+2+2) Punkte)

Wir betrachten die Differenz von ganzen Zahlen als eine Verknüpfung

$\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}⟶\mathbb{Z},(x,y)⟼x-y.$

1. Erstelle die möglichen Klammerungen für die Differenz von vier ganzen Zahlen $a,b,c,d$.
2. Welche Klammerung verbirgt sich üblicherweise hinter dem Ausdruck $a-b-c-d$?
3. Welches Ergebnis könnte für Kinder bei $3-3-3-3$ verlockend sein?
4. Schreiben sie die Möglichkeiten aus (1) als eine Addition von eventuell negativ genommenen Zahlen.
5. Wie viele unterschiedliche Ergebnisse kann es in (1) geben?

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei $G$ eine Menge, die als disjunkte Vereinigung

$G=A\uplus B$

gegeben ist. Definiere eine Bijektion zwischen der Potenzmenge $𝔓(G)$ und der Produktmenge $𝔓(A)\times 𝔓(B)$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Am Weihnachtsbaum gibt es $10$ Kerzen. Berechne die Anzahl der Reihenfolgen, wie die Kerzen angezündet werden können.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den binomischen Lehrsatz für einen kommutativen Halbring $R$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien $a,b\in \mathbb{Z}$. Zeige, dass $a$ die Zahl $b$ teilt, wenn $|a|$ die Zahl $|b|$ teilt.

Aufgabe * (1 Punkt)

Führe im Zehnersystem die Subtraktion

$572103-569217$

schriftlich durch.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise das Lemma von Bézout für teilerfremde natürliche Zahlen $a$ und $b$ durch Induktion über das Maximum von $a$ und $b$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von $831600$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$.  Zeige, dass das Produkt von $n$ aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen von $n!$ geteilt wird.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es stehen zwei Gläser auf einem Tisch, wobei das eine mit Rotwein und das andere mit Weißwein gefüllt ist, und zwar gleichermaßen. Nun wird ein kleineres leeres Glas (ein Fingerhut oder ein Schnapsglas) in das Rotweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Weißweinglas überführt und dort gleichmäßig vermischt (insbesondere gibt es Platz für diese Hinzugabe). Danach wird das kleinere Glas in das Weißweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Rotweinglas überführt. Befindet sich zum Schluss im Rotweinglas mehr Rotwein als im Weißweinglas Weißwein?

Aufgabe * (2 Punkte)

Eine Termitenkönigin legt $36000$ Eier pro Tag und lebt zwanzig Jahre lang (am $29$. Februar legt sie keine Eier). Wie viele Eier legt sie in ihrem Leben?

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die ganzzahligen Lösungen  $x\ne 0$  der Ungleichung

$\frac{\frac{3}{x}}{\frac{-7}{4}}>-1.$

Aufgabe * (1 Punkt)

Berechne die Gaußklammer von $-\frac{133}{33}$.

Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

1. Bestimme die Stammbrüche, die zugleich Dezimalbrüche und größer als $\frac{1}{100}$ sind, und liste sie in absteigender Reihenfolge auf.
2. Wie viele rationale Zahlen, die sowohl Stammbrüche als auch Dezimalbrüche sind, gibt es zwischen $\frac{1}{1000}$ und $1$ (einschließlich).

Aufgabe * (1 Punkt)

Negiere die Aussage, dass eine Folge $x_n$ in einem angeordneten Körper gegen $x$ konvergiert, durch Umwandlung der Quantoren.