Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/15/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 1 1 3 8 5 2 5 2 2 6 2 4 4 2 4 1 5 1 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Teilmenge einer Menge .
  2. Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung .
  3. Ein neutrales Element zu einer Verknüpfung
  4. Eine kommutative Gruppe.
  5. Ein angeordneter Körper.
  6. Die Konvergenz einer Folge in einem angeordneten Körper gegen .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Zifferndarstellung natürlicher Zahlen.
  2. Der Satz über die Charakterisierung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen und des größten gemeinsamen Teilers von zwei positiven natürlichen Zahlen mit der Hilfe von -Exponenten.
  3. Der Satz über die Periodizitätseigenschaft bei der Division natürlicher Zahlen.


Aufgabe * (1 Punkt)

Wie oft sagt man „bitte“, wenn man dreimal „bitte, bitte, bitte“ sagt.


Aufgabe * (1 Punkt)

Petra fliegt zu ihrer ersten internationalen Konferenz. Als sie auf dem Weg zum Flughafen ihre Wohnung (sie wohnt allein) verlässt und gerade die Wohnungstür zugemacht hat, merkt sie

  1. Sie hat ihr Flugticket auf dem Schreibtisch vergessen.
  2. Sie hat ihre Schlüssel auf dem Schreibtisch vergessen.
  3. Sie hat ihren Reisepass auf dem Schreibtisch vergessen.

Was ist am schlimmsten?


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei eine zweielementige Menge. Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Verknüpfung „Vereinigung“ auf der Potenzmenge .


Aufgabe * (8 (2+1+1+2+2) Punkte)

Wir betrachten die Differenz von ganzen Zahlen als eine Verknüpfung

  1. Erstelle die möglichen Klammerungen für die Differenz von vier ganzen Zahlen .
  2. Welche Klammerung verbirgt sich üblicherweise hinter dem Ausdruck ?
  3. Welches Ergebnis könnte für Kinder bei verlockend sein?
  4. Schreiben sie die Möglichkeiten aus (1) als eine Addition von eventuell negativ genommenen Zahlen.
  5. Wie viele unterschiedliche Ergebnisse kann es in (1) geben?


Aufgabe * (5 Punkte)

Sei eine Menge, die als disjunkte Vereinigung

gegeben ist. Definiere eine Bijektion zwischen der Potenzmenge und der Produktmenge .


Aufgabe * (2 Punkte)

Am Weihnachtsbaum gibt es Kerzen. Berechne die Anzahl der Reihenfolgen, wie die Kerzen angezündet werden können.


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den binomischen Lehrsatz für einen kommutativen Halbring .


Aufgabe * (2 Punkte)

Seien . Zeige, dass die Zahl teilt, wenn die Zahl teilt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Führe im Zehnersystem die Subtraktion

schriftlich durch.


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise das Lemma von Bezout für teilerfremde natürliche Zahlen und durch Induktion über das Maximum von und .


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von .


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei . Zeige, dass das Produkt von aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen von geteilt wird.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es stehen zwei Gläser auf einem Tisch, wobei das eine mit Rotwein und das andere mit Weißwein gefüllt ist, und zwar gleichermaßen. Nun wird ein kleineres leeres Glas (ein Fingerhut oder ein Schnapsglas) in das Rotweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Weißweinglas überführt und dort gleichmäßig vermischt (insbesondere gibt es Platz für diese Hinzugabe). Danach wird das kleinere Glas in das Weißweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Rotweinglas überführt. Befindet sich zum Schluss im Rotweinglas mehr Rotwein als im Weißweinglas Weißwein?


Aufgabe * (2 Punkte)

Eine Termitenkönigin legt Eier pro Tag und lebt zwanzig Jahre lang. Wie viele Eier legt sie in ihrem Leben?


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die ganzzahligen Lösungen der Ungleichung


Aufgabe * (1 Punkt)

Berechne die Gaußklammer von .


Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

  1. Bestimme die Stammbrüche, die zugleich Dezimalbrüche und größer als sind, und liste sie in absteigender Reihenfolge auf.
  2. Wie viele rationale Zahlen, die sowohl Stammbrüche als auch Dezimalbrüche sind, gibt es zwischen und (einschließlich).


Aufgabe * (1 Punkt)

Negiere die Aussage, dass eine Folge in einem angeordneten Körper gegen konvergiert, durch Umwandlung der Quantoren.