Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/2/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 1 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 1 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 7 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 9 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 11 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 64 }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleachtzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Abbildung} {} $F$ von einer Menge $L$ in eine Menge $M$.
}{Die \stichwort {Ordnungsrelation} {} auf den natürlichen Zahlen.
}{Die Menge der \stichwort {ganzen} {} Zahlen.
}{Die Folge der
\stichwort {euklidischen Reste} {}
zu ganzen Zahlen
\mathl{a,b}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Ein \stichwort {Körper} {.}
}{Ein \stichwort {Prozent} {.} }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Beziehung zwischen der Multiplikation und endlichen Mengen.}{Der Satz über die Anzahl der Permutationen.}{Der Satz über die Approximation von rationalen Zahlen durch Dezimalbrüche.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Wir betrachten den Satz \anfuehrung{Diese Vorlesung versteht keine Sau}{.} Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt. \wahrheitstabellezweieins{ } {\tabellenzeiledrei {$ p $} {$ q $} {$? $} } {\tabellenzeiledrei {w} {w} {f} } {\tabellenzeiledrei {w} {f} {w} } {\tabellenzeiledrei {f} {w} {f} } {\tabellenzeiledrei {f} {f} {w} }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise durch Induktion für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k = 1}^n (-1)^{k-1} k^2
}
{ =} { (-1)^{n+1} { \frac{ n(n+1) }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Ist die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\N_+ \times \N_+} { \N_+ \times \N_+\times \N_+ } {(a,b)} {(a+b,ab,a^b) } {,} \definitionsverweis {injektiv}{}{} oder nicht?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei $M$ eine $k$-elementige Menge. Wie viele Verknüpfungen gibt es auf $M$?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Zeige, dass das schriftliche Addieren korrekt ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es seien
\mathl{a,b,c}{} natürliche Zahlen mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \geq }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a-b
}
{ \geq }{ c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \geq }{ b+c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist und dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(a-b)-c
}
{ =} {a-(b+c)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von $7$ und der andere ein Fassungsvermögen von $10$ Litern. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung für natürliche Zahlen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme in $\Z$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} von $1085$ und $806$ und schreibe die beiden Zahlen als Vielfache des größten gemeinsamen Teilers.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{9 (2+1+2+2+2)}
{
Zwei Schwimmer, \mathkor {} {A} {und} {B} {,} schwimmen auf einer $50$-Meter-Bahn einen Kilometer lang. Schwimmer $A$ schwimmt $3 m/s$ \zusatzklammer {das ist besser als der Weltrekord} {} {} und Schwimmer $B$ schwimmt $2 m/s$. \aufzaehlungfuenf{Erstelle in einem Diagramm für beide Schwimmer den Graphen der jeweiligen Abbildung, die für die Zeit zwischen \mathkor {} {0} {und} {100} {} Sekunden angibt, wie weit der Schwimmer von der Startlinie zu diesem Zeitpunkt \zusatzklammer {wirklich, also unter Berücksichtigung der Wenden} {} {} entfernt ist. }{Wie weit von der Startlinie entfernt befindet sich Schwimmer $A$ \zusatzklammer {und Schwimmer $B$} {} {} nach $30$ Sekunden? }{Nach wie vielen Sekunden begegnen sich die beiden Schwimmer zum ersten Mal \zusatzklammer {abgesehen vom Start} {} {?} }{Wie oft begegnen sich die beiden Schwimmer \zusatzklammer {Start mitzählen} {} {?} }{Wie oft überrundet Schwimmer $A$ den Schwimmer $B$? }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es soll Holz unterschiedlicher Länge
\zusatzklammer {ohne Abfall} {} {}
in Stücke zerlegt werden, die zwischen $30$ und
\mathl{40}{} cm lang sein sollen
\zusatzklammer {jeweils einschließlich} {} {.}
Für welche Holzlängen ist dies möglich?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei
\mathl{n \in \N_+}{.} Vergleiche die beiden rationalen Zahlen
\mathkor {} {{ \frac{ n }{ n+1 } }} {und} {{ \frac{ n-1 }{ n } }} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{11 (5+4+2)}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente aus $K$. Beweise die folgenden Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m,n
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dabei darf man die entsprechenden Gesetze für Exponenten aus $\N$ sowie die Tatsachen, dass das Inverse des Inversen wieder das Ausgangselement ist und dass das Inverse von
\mathl{u^k}{} gleich
\mathl{{ \left( u^{-1} \right) }^k}{} ist, verwenden.
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^{m+n}
}
{ =} { a^m \cdot a^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( a^{m} \right) }^n
}
{ =} { a^{m n }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (a\cdot b)^n
}
{ =} { a^n \cdot b^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bei der Onlinepartnervermittlung \anfuehrung{e-Tarzan meets e-Jane}{} verliebt sich alle elf Minuten ein Single. Wie lange \zusatzklammer {in gerundeten Jahren} {} {} dauert es, bis sich alle erwachsenen Menschen in Deutschland \zusatzklammer {ca. $65 000 000$} {} {} verliebt haben, wenn ihnen allein dieser Weg zur Verfügung steht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Lucy Sonnenschein hat im Juni $80$ Euro ausgegeben, davon $20\,\%$ für Eis, im Juli hat sie $90$ Euro ausgegeben, davon $30\,\%$ für Eis, und im August hat sie $70$ Euro ausgegeben, und zwar hat sie davon $15$ Euro für Eis ausgegeben. Wie viel Prozent ihrer Ausgaben in den drei Sommermonaten gab sie für Eis aus?
}
{} {}