Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/33/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	0	6	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	2	0	0	14

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

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Aufgabe (6 (2+4) Punkte)

Es sei

\varphi \colon L\longrightarrow M

eine Abbildung.

a) Zeige, dass es eine Menge ${}N$ gibt und eine surjektive Abbildung

F\colon L\longrightarrow N

und eine injektive Abbildung

G\colon N\longrightarrow M

mit

{}\varphi =G\circ F\,.

b) Zeige, dass es eine Menge ${}P$ gibt und eine injektive Abbildung

H\colon L\longrightarrow P

und eine surjektive Abbildung

I\colon P\longrightarrow M

mit

{}\varphi =I\circ H\,.

Lösung

a) Es sei ${}N=\varphi (L)$ das Bild von ${}L$ unter der Abbildung ${}\varphi$ . Wegen

{}N=\varphi (L)\subseteq M\,

ist ${}N$ eine Teilmenge von ${}M$ . Die Abbildung, die ein Element ${}y\in N$ auf sich selbst aber als Element in ${}M$ auffasst, nennen wir ${}G$ . Diese Abbildung ist injektiv. Die Abbildung

F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto \varphi (x),

ist wohldefiniert, da ${}\varphi (x)$ zu ${}N$ gehört, und surjektiv, da ${}N$ genau aus den Elementen besteht, die im Bild liegen. Dabei ist offenbar

{}\varphi =G\circ F\,.

b) Es sei

{}P=L\times M\,.

Wir betrachten die Abbildung

H\colon L\longrightarrow P=L\times M,\,x\longmapsto (x,\varphi (x)).

Diese ist injektiv, da aus

{}x\neq x'\,

folgt, dass

{}(x,\varphi (x))\neq (x',\varphi (x'))\,

ist. Die Abbildung ${}I$ sei durch

I\colon L\times M\longrightarrow M,\,(u,v)\longmapsto v,

gegeben. Diese ist surjektiv unter der Bedingung, dass ${}L$ nicht leer ist. Insgesamt ist

{}(I\circ H)(x)=I(x,\varphi (x))=\varphi (x)\,

und somit

{}\varphi =I\circ H\,.

Falls ${}L$ leer ist, so ist ${}\varphi$ die sogenannte leere Abbildung und man kann ${}P=M$ , ${}H=\varphi$ und ${}I=\operatorname {Id} _{M}$ nehmen.

Millionäre entschädigungslos enteignen.
Ein bedingungsloses monatliches Grundeinkommen von ${}1200$ Euro für jeden Erwachsenen.

Hans hat kein Geld und hat mit Geld auch nichts am Hut, er ist jetzt gerade ${}18$ geworden und lebt allein auf einem kleinen Bauernhof als Selbstversorger, ohne Einnahmen, ohne Ausgaben, und das soll in seinem Leben auch so bleiben. Vorausgesetzt, das Parteiprogramm wird Gesetz, wie alt muss Hans (in Jahren und Monaten) werden, bis er enteignet wird?

Lösung

Er wird enteignet, wenn das angesammelte Grundeinkommen die Millionengrenze erstmals überschreitet. Im Jahr bekommt er ${}14400$ Euro. Es ist

{}1000000:14400=69,44...\,

Jahre, also braucht er ${}69$ Jahre und ${}6$ Monate. Er muss also ${}87$ einhalb Jahre alt werden.

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