Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/33/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	0	0	6	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	12

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. /Definition/Begriff
2. /Definition/Begriff
3. /Definition/Begriff
4. /Definition/Begriff
5. /Definition/Begriff
6. /Definition/Begriff

Lösung

1. /Definition/Begriff/Inhalt
2. /Definition/Begriff/Inhalt
3. /Definition/Begriff/Inhalt
4. /Definition/Begriff/Inhalt
5. /Definition/Begriff/Inhalt
6. /Definition/Begriff/Inhalt

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. /Fakt/Name
2. /Fakt/Name
3. /Fakt/Name

Lösung

1. /Fakt
2. /Fakt
3. /Fakt

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (6 (2+4) Punkte)

Es sei

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

eine Abbildung.

a) Zeige, dass es eine Menge ${}N$ gibt und eine surjektive Abbildung

$F\colon L\longrightarrow N$

und eine injektive Abbildung

$G\colon N\longrightarrow M$

mit

${}\varphi =G\circ F\,.$

b) Zeige, dass es eine Menge ${}P$ gibt und eine injektive Abbildung

$H\colon L\longrightarrow P$

und eine surjektive Abbildung

$I\colon P\longrightarrow M$

mit

${}\varphi =I\circ H\,.$

Lösung

a) Es sei ${}N=\varphi (L)$ das Bild von ${}L$ unter der Abbildung ${}\varphi$. Wegen

${}N=\varphi (L)\subseteq M\,$

ist ${}N$ eine Teilmenge von ${}M$. Die Abbildung, die ein Element ${}y\in N$ auf sich selbst aber als Element in ${}M$ auffasst, nennen wir ${}G$. Diese Abbildung ist injektiv. Die Abbildung

$F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto \varphi (x),$

ist wohldefiniert, da ${}\varphi (x)$ zu ${}N$ gehört, und surjektiv, da ${}N$ genau aus den Elementen besteht, die im Bild liegen. Dabei ist offenbar

${}\varphi =G\circ F\,.$

b) Es sei

${}P=L\times M\,.$

Wir betrachten die Abbildung

$H\colon L\longrightarrow P=L\times M,\,x\longmapsto (x,\varphi (x)).$

Diese ist injektiv, da aus

${}x\neq x'\,$

folgt, dass

${}(x,\varphi (x))\neq (x',\varphi (x'))\,$

ist. Die Abbildung ${}I$ sei durch

$I\colon L\times M\longrightarrow M,\,(u,v)\longmapsto v,$

gegeben. Diese ist surjektiv unter der Bedingung, dass ${}L$ nicht leer ist. Insgesamt ist

${}(I\circ H)(x)=I(x,\varphi (x))=\varphi (x)\,$

und somit

${}\varphi =I\circ H\,.$

Falls ${}L$ leer ist, so ist ${}\varphi$ die sogenannte leere Abbildung und man kann ${}P=M$, ${}H=\varphi$ und ${}I=\operatorname {Id} _{M}$ nehmen.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung