Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/6/Klausur/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}


%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 2 }

\renewcommand{\avier}{ 3 }

\renewcommand{\afuenf}{ 2 }

\renewcommand{\asechs}{ 2 }

\renewcommand{\asieben}{ 5 }

\renewcommand{\aacht}{ 2 }

\renewcommand{\aneun}{ 7 }

\renewcommand{\azehn}{ 5 }

\renewcommand{\aelf}{ 8 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 6 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 2 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 2 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ 64 }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabelleachtzehn


\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {endliche} {} Menge $M$ mit $n$ Elementen.

}{Eine \stichwort {Relation} {} auf einer Menge $M$.

}{Die \stichwort {Multiplikation} {} von ganzen Zahlen.

}{Ein \stichwort {gemeinsames Vielfaches} {} zu natürlichen Zahlen $a_1 , \ldots , a_k$.

}{Die \stichwort {Größergleichrelation} {} $\geq$ auf den rationalen Zahlen.

}{Die \stichwort {Darstellung} {} eines Dezimalbruches im Dezimalsystem. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Beziehung zwischen der Addition und endlichen Mengen.}{Die \stichwort {Potenzgesetze} {} für natürliche Zahlen.}{Der Satz über die algebraische Struktur der ganzen Zahlen.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Negiere den Satz \anfuehrung{Kein Schwein ruft mich an und keine Sau interessiert sich für mich}{} durch (eine) geeignete Existenzaussage(n).

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Erläutere Vor- und Nachteile des axiomatischen Aufbaus der Mathematik.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Es sei
\mathl{a \in \N_+}{.} Zeige, wie man $a^{10}$ mit vier Multiplikationen berechnen kann.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Seien $L,M,N$ Mengen und
\mathdisp {f:L \longrightarrow M \text{ und } g:M \longrightarrow N} { }
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{} mit der \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} \maabbeledisp {\verknuepfung {f} {g}} {L} {N } {x} {g(f(x)) } {.} Zeige: Wenn $\verknuepfung {f} {g}$ \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist, so ist auch $f$ injektiv.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5 (2+2+1)}
{

\aufzaehlungdrei{Zeige, dass für
\mathl{a,b \in \N}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ab }
{ \leq} {a^2+b^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt und somit stets
\mathl{a^2+b^2 -ab \in \N}{} ist. }{Besitzt die Verknüpfung \maabbeledisp {} {\N \times \N} { \N } {(a,b)} {a \star b \defeq a^2+b^2 -ab } {,} ein neutrales Element? }{Berechne
\mathdisp {5 \star (4 \star 3)} { . }
}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Führe im Dreiersystem die Addition
\mathdisp {201 021 + 112 002} { }
schriftlich durch.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{7}
{

Beweise das \stichwort {allgemeine Distributivgesetz} {} für einen kommutativen Halbring.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5 (1+1+3)}
{

Wir interessieren uns für Eigenschaften von ganzen Zahlen, die nur davon abhängen, ob eine positive \zusatzklammer {$p$} {} {} oder eine negative Zahl \zusatzklammer {$n$} {} {} vorliegt. \aufzaehlungdrei{Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Multiplikation auf
\mathl{\{ p, n\}}{,} die die Multiplikation auf $\Z$ \zusatzklammer {hinsichtlich der Eigenschaft, ob das Ergebnis positiv oder negativ ist} {} {} widerspiegelt. }{Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Verknüpfung auf
\mathl{\{ p, n\}}{,} die der Verknüpfung \anfuehrung{Maximum nehmen}{} auf $\Z$ \zusatzklammer {hinsichtlich der Eigenschaft, ob das Ergebnis positiv oder negativ ist} {} {} entspricht. }{Gibt es eine Beziehung zwischen diesen Verknüpfungen und den Verknüpfungen $\cdot$ und $+$ auf
\mathl{\{g,u\}}{,} die das Verhalten von geraden und ungeraden Zahlen bei der Addition und der Multiplikation beschreiben? }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{8 (1+1+1+3+2)}
{

Zur großen Pause fährt der Eiswagen \anfuehrung{Largo Maggiore}{} auf den Pausenhof. Eisverkäufer Lorenzo di Napoli bietet $10$ Eissorten an. Lucy Sonnenschein hat heute Lust auf ein Eis mit drei Kugeln, die in der Eistüte übereinander gestapelt werden. \aufzaehlungfuenf{Wie viele Möglichkeiten gibt es für diesen Eiskauf, wenn Lucy drei verschiedene Sorten möchte und die Schleckreihenfolge mitberücksichtigt wird? }{Wie viele Möglichkeiten gibt es für diesen Eiskauf, wenn Lucy drei verschiedene Sorten möchte und die Schleckreihenfolge nicht mitberücksichtigt wird? }{Wie viele Möglichkeiten gibt es für diesen Eiskauf, wenn Sorten mehrfach auftreten dürfen und die Schleckreihenfolge mitberücksichtigt wird? }{Wie viele Möglichkeiten gibt es für diesen Eiskauf, wenn Sorten mehrfach auftreten dürfen und die Schleckreihenfolge nicht mitberücksichtigt wird? }{Wie kann man mit den Schritten mit denen man (4) beantwortet hat die Antworten zu (1) und zu (3) herleiten? }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe
\mathl{65}{} und deren Produkt $1000$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei
\mathl{n \geq 2}{.} Woran erkennt man am Kleinen Einmaleins im $n$-System \zusatzklammer {ohne die Nuller- und die Zehnerreihe} {} {,} ob $n$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Zeige, dass eine Quadratzahl
\mathl{\neq 0}{} stets eine ungerade Anzahl an Teilern besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6 (2+3+1)}
{

Ein Metallarbeiter hat zwei Metallstäbe zur Verfügung. Wenn er den kleinen siebenmal hintereinanderlegt, erhält er genau drei Meter. Wenn er den großen achtmal hintereinanderlegt, erhält er genau fünf Meter. \aufzaehlungdrei{Wie kann er allein mit diesen Stäben eine Länge von einem Meter bestimmen? }{Was ist die kleinste positive Strecke, die er mit den Stäben messen kann? }{Welche Streckenlängen kann er mit seinen beiden Metallstäben messen? }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen \mathkor {} {p} {und} {q} {} größer ist.
\mathdisp {p= { \frac{ 573 }{ -1234 } } \text{ und } q = { \frac{ -2007 }{ 4322 } }} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, ausgehend von den Axiomen für einen angeordneten Körper, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1 }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Es seien
\mathl{a \neq b}{} Basen zu einem Stellenwertsystem \zusatzklammer {$a$-er System und $b$-er System} {} {.} Es sei $z$ eine \definitionsverweis {rationale Zahl}{}{,} die im Stellenwertsystem zur Basis $a$ eine abbrechende Darstellung als Kommazahl besitzt. Gilt dies dann auch im Stellenwertsystem zur Basis $b$?

}
{} {}