Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/6/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	$\sum$
Punkte	3	3	2	3	2	2	5	2	7	5	8	2	4	3	6	2	3	2	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine endliche Menge $M$ mit $n$ Elementen.
2. Eine Relation auf einer Menge $M$.
3. Die Multiplikation von ganzen Zahlen.
4. Ein gemeinsames Vielfaches zu natürlichen Zahlen $a_1,\dots ,a_k$.
5. Die Größergleichrelation $\ge$ auf den rationalen Zahlen.
6. Die Darstellung eines Dezimalbruches im Dezimalsystem.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Beziehung zwischen der Addition und endlichen Mengen.
2. Die Potenzgesetze für natürliche Zahlen.
3. Der Satz über die algebraische Struktur der ganzen Zahlen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Negiere den Satz „Kein Schwein ruft mich an und keine Sau interessiert sich für mich“ durch (eine) geeignete Existenzaussage(n).

Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere Vor- und Nachteile des axiomatischen Aufbaus der Mathematik.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei $a\in {\mathbb{N}}_{+}$. Zeige, wie man $a^{10}$ mit vier Multiplikationen berechnen kann.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien $L,M,N$ Mengen und

$f:L⟶M\text{ und }g:M⟶N$

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

$g\circ f:L⟶N,x⟼g(f(x)).$

Zeige: Wenn $g\circ f$ injektiv ist, so ist auch $f$ injektiv.

Aufgabe * (5 (2+2+1) Punkte)

1. Zeige, dass für $a,b\in \mathbb{N}$ die Abschätzung

   $ab\le a^2+b^2$

   gilt und somit stets $a^2+b^2-ab\in \mathbb{N}$ ist.

2. Besitzt die Verknüpfung

   $\mathbb{N}\times \mathbb{N}⟶\mathbb{N},(a,b)⟼a\star b:=a^2+b^2-ab,$

   ein neutrales Element?

3. Berechne

   $5\star (4\star 3).$

Aufgabe * (2 Punkte)

Führe im Dreiersystem die Addition

$201021+112002$

schriftlich durch.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise das allgemeine Distributivgesetz für einen kommutativen Halbring.

Aufgabe * (5 (1+1+3) Punkte)

Wir interessieren uns für Eigenschaften von ganzen Zahlen, die nur davon abhängen, ob eine positive ($p$) oder eine negative Zahl ($n$) vorliegt.

1. Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Multiplikation auf $\{p,n\}$, die die Multiplikation auf $\mathbb{Z}$ (hinsichtlich der Eigenschaft, ob das Ergebnis positiv oder negativ ist) widerspiegelt.
2. Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Verknüpfung auf $\{p,n\}$, die der Verknüpfung „Maximum nehmen“ auf $\mathbb{Z}$ (hinsichtlich der Eigenschaft, ob das Ergebnis positiv oder negativ ist) entspricht.
3. Gibt es eine Beziehung zwischen diesen Verknüpfungen und den Verknüpfungen $\cdot$ und $+$ auf $\{g,u\}$, die das Verhalten von geraden und ungeraden Zahlen bei der Addition und der Multiplikation beschreiben?

Aufgabe * (8 (1+1+1+3+2) Punkte)

Zur großen Pause fährt der Eiswagen „Largo Maggiore“ auf den Pausenhof. Eisverkäufer Lorenzo di Napoli bietet $10$ Eissorten an. Lucy Sonnenschein hat heute Lust auf ein Eis mit drei Kugeln, die in der Eistüte übereinander gestapelt werden.

1. Wie viele Möglichkeiten gibt es für diesen Eiskauf, wenn Lucy drei verschiedene Sorten möchte und die Schleckreihenfolge mitberücksichtigt wird?
2. Wie viele Möglichkeiten gibt es für diesen Eiskauf, wenn Lucy drei verschiedene Sorten möchte und die Schleckreihenfolge nicht mitberücksichtigt wird?
3. Wie viele Möglichkeiten gibt es für diesen Eiskauf, wenn Sorten mehrfach auftreten dürfen und die Schleckreihenfolge mitberücksichtigt wird?
4. Wie viele Möglichkeiten gibt es für diesen Eiskauf, wenn Sorten mehrfach auftreten dürfen und die Schleckreihenfolge nicht mitberücksichtigt wird?
5. Wie kann man mit den Schritten mit denen man (4) beantwortet hat die Antworten zu (1) und zu (3) herleiten?

Aufgabe * (2 Punkte)

Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe $65$ und deren Produkt $1000$ ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei  $n\ge 2$.  Woran erkennt man am Kleinen Einmaleins im $n$-System (ohne die Nuller- und die Zehnerreihe), ob $n$ eine Primzahl ist?

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass eine Quadratzahl $\ne 0$ stets eine ungerade Anzahl an Teilern besitzt.

Aufgabe * (6 (2+3+1) Punkte)

Ein Metallarbeiter hat zwei Metallstäbe zur Verfügung. Wenn er den kleinen siebenmal hintereinanderlegt, erhält er genau drei Meter. Wenn er den großen achtmal hintereinanderlegt, erhält er genau fünf Meter.

1. Wie kann er allein mit diesen Stäben eine Länge von einem Meter bestimmen?
2. Was ist die kleinste positive Strecke, die er mit den Stäben messen kann?
3. Welche Streckenlängen kann er mit seinen beiden Metallstäben messen?

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen $p$ und $q$ größer ist.

$p=\frac{573}{-1234}\text{ und }q=\frac{-2007}{4322}.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Zeige, ausgehend von den Axiomen für einen angeordneten Körper, dass  $1>0$  gilt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien $a\ne b$ Basen zu einem Stellenwertsystem ($a$-er System und $b$-er System). Es sei $z$ eine rationale Zahl, die im Stellenwertsystem zur Basis $a$ eine abbrechende Darstellung als Kommazahl besitzt. Gilt dies dann auch im Stellenwertsystem zur Basis $b$?