Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/9/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 3 1 3 2 2 3 2 5 2 8 4 4 2 5 2 4 3 3 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Kontraposition zu einer Implikation .
  2. Eine injektive Abbildung
  3. Die -te Potenz zu einer natürlichen Zahl .
  4. Die Potenzmenge zu einer Menge .
  5. Die Größergleichrelation auf den ganzen Zahlen.
  6. Eine rationale Zahl.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Eindeutigkeit der Addition auf einem Peano-Modell.
  2. Der Satz über die Verträglichkeit der Größergleichrelation auf mit der Addition und mit der Multiplikation.
  3. Das Lemma von Euklid.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass der aussagenlogische Ausdruck

allgemeingültig ist


Aufgabe * (1 Punkt)

Wir betrachten den Satz „Lucy Sonnenschein tanzt auf allen Hochzeiten“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.


Aufgabe * (3 Punkte)

Erläutere das Prinzip Beweis durch Widerspruch für eine Aussage der Form „Aus folgt “.


Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten auf der Menge

die durch die Tabelle

gegebene Verknüpfung .

  1. Berechne
  2. Besitzt die Verknüpfung ein neutrales Element?


Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien Mengen und und surjektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ebenfalls surjektiv ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise durch Induktion, dass die Summe von aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen (beginnend bei ) stets eine Quadratzahl ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Finde die kleinste natürliche Zahl , die sowohl eine Quadratzahl als auch eine Kubikzahl ist.


Aufgabe * (5 (1+4) Punkte)

Ein Cocktailmixer verfügt über zwei Verarbeitungstechniken, nämlich schütteln und rühren, wobei in jedem Arbeitsgang stets zwei Grundzutaten bzw. Zwischenprodukte miteinander verarbeitet werden. Bei jedem Cocktail wird jede Grundzutat bei genau einem Arbeitsvorgang verarbeitet (wobei die dabei entstehenden Zwischenprodukte weiterverarbeitet werden können). Als Grundzutaten stehen Orangensaft, Zitronensaft, Pfefferminzblätter und Rum zur Verfügung.

  1. Beschreibe die Zubereitung eines Cocktails, so dass jede Verarbeitungstechnik mindestens einmal vorkommt.
  2. Auf wie viele Arten kann er aus den Zutaten einen Cocktail mixen?


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei eine natürliche Zahl. Wann ist die Zahl eine Primzahl?


Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Vergleichssatz für Zahlen im Zehnersystem.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine -elementige Menge und sei

Zeige, dass

ist.


Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

  1. Berechne im Vierersystem, im Fünfersystem und im Zehnersystem.
  2. Zeige, dass im kleinen Einmaleins (ohne die Zehnerreihe) zur Basis rechts unten die Zahl mit den Ziffern und steht.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme den Exponenten zu von .


Aufgabe * (5 (1+1+1+2) Punkte)

Ein Zug ist Meter lang (ohne Lokomotive) und bewegt sich mit Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von Metern pro Sekunde von ganz vorne nach ganz hinten.

  1. Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge?
  2. Welche Geschwindigkeit (in Meter pro Sekunde) hat Lucy bezogen auf die Umgebung?
  3. Welche Entfernung (in Meter) legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück?
  4. Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy während ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass genau dann gilt, wenn gilt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien rationale Zahlen. Zeige, dass

genau dann gilt, wenn es ein mit gibt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme vom achten Teil des Dezimalbruches

die dritte Nachkommaziffer.


Aufgabe * (3 Punkte)

Im Bruch

sind Zähler und Nenner im Fünfersystem gegeben. Rechne ihn ins Zehnersystem um.