Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/10/Klausur/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}


%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 4 }

\renewcommand{\avier}{ 2 }

\renewcommand{\afuenf}{ 4 }

\renewcommand{\asechs}{ 4 }

\renewcommand{\asieben}{ 3 }

\renewcommand{\aacht}{ 3 }

\renewcommand{\aneun}{ 3 }

\renewcommand{\azehn}{ 2 }

\renewcommand{\aelf}{ 3 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 1 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 5 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 5 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 2 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ 2 }

\renewcommand{\azwanzig}{ 4 }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 2 }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ 64 }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabelleeinundzwanzig


\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Gerade in Punktvektorform} {} im
\mathl{K^n}{.}

}{Die \stichwort {beschreibende Matrix} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m } {} bezüglich der Standardbasen.

}{Eine \stichwort {Äquivalenzrelation} {} $\sim$ auf einer Menge $M$.

}{Ein \stichwort {Dedekindscher Schnitt} {.}

}{Der \stichwort {trigonometrische Punkt} {}
\mathl{P(\alpha)}{} zu einem Winkel $\alpha$.

}{Ein \stichwort {endlicher Wahrscheinlichkeitsraum} {.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über den Lösungsraum bei einer linearen Gleichung.}{Der \stichwort {Satz über die Eindeutigkeit des Limes} {} in einem angeordneten Körper $K$.}{Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms
\mathl{F \in K[X]}{}.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4 (2+2)}
{

Ein \definitionsverweis {lineares Ungleichungssystem}{}{} sei durch die Ungleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ \geq} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y+x }
{ \geq} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-1-y }
{ \leq} {-x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{5y -2x }
{ \leq} {3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} gegeben.

a) Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.

b) Bestimme die Eckpunkte der Lösungsmenge.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4x+7y }
{ =} {3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} im $\Q^ 2$ gegebene Gerade.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Beweise das \stichwort {Injektivitätskriterium} {} für eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m } {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es seien
\mathl{x,y}{} rationale Zahlen. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x- \left \lfloor x \right \rfloor }
{ =} { y- \left \lfloor y \right \rfloor }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} genau dann gilt, wenn es ein
\mathl{n \in \Z}{} mit
\mathl{y=x+n}{} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Bestimme das inverse Element zu
\mathl{\overline{37}}{} in
\mathl{\Z/(89)}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {K} { \operatorname{Mat}_{ 2 } (K) } {a} { \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} } {.} Welche Eigenschaften eines \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} erfüllt die Abbildung $\varphi$, welche nicht?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es sei
\mathl{I=[a,b]}{} ein \definitionsverweis {Intervall}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$. Beschreibe die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { { \left\{ x\in K \mid - x \in [a,b] \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} als ein Intervall.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Berechne
\mathdisp {{ \left( { \frac{ 7 }{ 3 } } - { \frac{ 3 }{ 2 } } \sqrt{5} \right) } \cdot { \left( { \frac{ 4 }{ 5 } } + { \frac{ 5 }{ 3 } } \sqrt{5} \right) }} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Entscheide, ob die \definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n }
{ =} {{ \frac{ 7 n^4-2n^2+5 }{ 4n^4-5n^3+n-6 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in $\Q$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{} und bestimme gegebenenfalls den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Beweise den Satz, dass der \definitionsverweis {Limes}{}{} einer \definitionsverweis {konvergenten Folge}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} eindeutig bestimmt ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Es sei $x \in \R_{\geq 0}$ eine nichtnegative reelle Zahl. Für jedes $\epsilon \in \R,\, \epsilon >0$, gelte $x \leq \epsilon$. Zeige $x = 0$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {rationale Zahl}{}{,} die im Dezimalsystem durch
\mathdisp {0{,}7 \overline{41}} { }
gegeben ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{1}
{

Erläutere die geometrische Relevanz des geometrischen Mittels.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Beweise die Lösungsformel für quadratische Gleichungen.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} {X^3+bX^2+cX+d }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein normiertes Polynom über einem Körper $K$. Es seien
\mathl{u,v,w}{} drei \zusatzklammer {verschiedene} {} {} Zahlen aus $K$. Zeige, dass diese drei Zahlen genau dann Nullstellen von $P$ sind, wenn sie das Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ uvw }
{ =} {-d }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ uv+uw+vw }
{ =} {c }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u+v+w }
{ =} {-b }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} erfüllen.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Fridolin sagt:

\anfuehrung{Irgendwas kann am Zwischenwertsatz nicht stimmen. Für die stetige Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} { { \frac{ 1 }{ x } } } {,} gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(-1) }
{ = }{-1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(1) }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Nach dem Zwischenwertsatz müsste es also eine Nullstelle zwischen $-1$ und $1$ geben, also eine Zahl
\mathl{x \in [-1,1]}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es ist doch aber stets
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ x } } }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}{}

Wo liegt der Fehler in dieser Argumentation?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Ordne die folgenden Funktionen den Bildern zu \zusatzklammer {man schreibe ohne Begründung hinter den Funktionsausdruck den Buchstaben des zugehörigen Bildes; nur für vollständig richtige Antworten gibt es Punkte} {} {.} \aufzaehlungsechs{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x +1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x -1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } x +1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x +1 \right) +1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( 2 x +1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x + { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) -1} { . }
}




}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass man beim Zahlenlotto \zusatzklammer {genau} {} {} drei Richtige hat.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Wir betrachten den \definitionsverweis {Wahrscheinlichkeitsraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{\{1,2,3 , \ldots , 143\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der \definitionsverweis {Laplace-Dichte}{}{.} Es sei $E$ das Ereignis, dass eine Zahl aus $M$ ein Vielfaches der $11$ ist, und $F$ das Ereignis, dass eine Zahl aus $M$ ein Vielfaches der $13$ ist. Sind \mathkor {} {E} {und} {F} {} \definitionsverweis {unabhängig}{}{?}

}
{} {}