Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/10/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Punkte 3 3 4 2 4 4 3 3 3 2 2 3 4 2 3 1 5 5 2 2 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Gerade in Punktvektorform im .
  2. Die beschreibende Matrix zu einer linearen Abbildung

    bezüglich der Standardbasen.

  3. Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge .
  4. Ein Dedekindscher Schnitt.
  5. Der trigonometrische Punkt zu einem Winkel .
  6. Ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über den Lösungsraum bei einer linearen Gleichung.
  2. Der Satz über die Eindeutigkeit des Limes in einem angeordneten Körper .
  3. Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms .


Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Ein lineares Ungleichungssystem sei durch die Ungleichungen

gegeben.

a) Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.

b) Bestimme die Eckpunkte der Lösungsmenge.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung

im gegebene Gerade.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung


Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien rationale Zahlen. Zeige, dass

genau dann gilt, wenn es ein mit gibt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das inverse Element zu in .


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Körper. Wir betrachten die Abbildung

Welche Eigenschaften eines Ringhomomorphismus erfüllt die Abbildung , welche nicht?


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Intervall in einem angeordneten Körper mit . Beschreibe die Menge

als ein Intervall.


Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne


Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Es sei

  1. Finde das kleinste mit
  2. Finde das kleinste mit


Aufgabe * (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz, dass der Limes einer konvergenten Folge in einem angeordneten Körper eindeutig bestimmt ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei eine nichtnegative reelle Zahl. Für jedes , gelte . Zeige .


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

gegeben ist.


Aufgabe (1 Punkt)

Erläutere die geometrische Relevanz des geometrischen Mittels.


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die Lösungsformel für quadratische Gleichungen.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

ein normiertes Polynom über einem Körper . Es seien drei (verschiedene) Zahlen aus . Zeige, dass diese drei Zahlen genau dann Nullstellen von sind, wenn sie das Gleichungssystem

erfüllen.


Aufgabe * (2 Punkte)

Fridolin sagt:

„Irgendwas kann am Zwischenwertsatz nicht stimmen. Für die stetige Funktion

gilt und . Nach dem Zwischenwertsatz müsste es also eine Nullstelle zwischen und geben, also eine Zahl mit . Es ist doch aber stets .“

Wo liegt der Fehler in dieser Argumentation?


Aufgabe * (2 Punkte)

Ordne die folgenden Funktionen den Bildern zu (man schreibe ohne Begründung hinter den Funktionsausdruck den Buchstaben des zugehörigen Bildes; nur für vollständig richtige Antworten gibt es Punkte).





Aufgabe * (4 Punkte)

Aus den Zahlen werden zufällig fünf Zahlen gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es unter den gezogenen Zahlen keine Teilbarkeitsbeziehung gibt.