Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/11/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 1 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 1 }
\renewcommand{\aacht}{ 5 }
\renewcommand{\aneun}{ 5 }
\renewcommand{\azehn}{ 9 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 6 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 1 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 3 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleneunzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Eine
\stichwort {Linearkombination} {}
zu Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} im $K^m$.
}{Die \stichwort {kanonische Projektion} {} zu einer \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} $\sim$ auf einer Menge $M$.
}{Ein \stichwort {vollständig} {} angeordneter Körper $K$.
}{Der \stichwort {Grad} {} eines Polynoms
\mathbed {P \in K[X]} {}
{P \neq 0} {}
{} {} {} {,}
über einem Körper $K$.
}{Die
\stichwort {Kosinusreihe} {}
zu
\mathl{x \in \R}{.}
}{Die
\stichwort {Bernoulli-Verteilung} {}
zu
\mathl{p \in [0,1]}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über bijektive lineare Abbildungen und Matrizen.}{Der Satz über die algebraische Struktur des Äquivalenzklassenmodells für $\Z$.}{Die \stichwort {Bayessche Formel} {.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Löse das
\definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} 3 x &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ z &
+4 w & = & 4 \\ 2 x &
+2 y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ w & = & 0 \\ 4 x &
+6 y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ w & = & 2 \\ x &
+3 y &
+5 z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 3 \, . \end{matrix}} { }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Bei einem linearen Gleichungssystem führe das Eliminationsverfahren auf die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Welche Folgerung kann man daraus schließen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {K^m} {K^n
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Es sei
\mathl{v \in K^m}{.} Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi( -v)
}
{ = }{- \varphi(v)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Zeige, dass die auf $\Z \times \N_+$ durch
\mathdisp {(a,b) \sim (c,d), \text{ falls } ad=bc} { , }
festgelegte
\definitionsverweis {Relation}{}{}
eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {} ein \definitionsverweis {surjektiver}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass $H$ ebenfalls kommutativ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Zu
\mathl{n \in \N_+}{} sei $a_n$ die Summe der ungeraden Zahlen bis $n$ und $b_n$ die Summe der geraden Zahlen bis $n$. Entscheide, ob die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { { \frac{ a_n }{ b_n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $\Q$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{,}
und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise die Aussage, dass eine Dezimalbruchfolge in einem archimedisch angeordneten Körper $K$ eine Cauchy-Folge ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{9 (2+4+3)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {irrationale Zahl}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} { { \left\{ a+bu \mid a,b \in \Z \right\} }
}
{ \subseteq} {\R
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass $G$ eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
von
\mathl{(\R,0,+)}{} ist.
}{Zeige, dass es kein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} { \Z v
}
{ =} { { \left\{ cv \mid c \in \Z \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}{Zeige, dass es in $G$ kein positives minimales Element gibt.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {rationale Zahl}{}{,}
die im Dezimalsystem durch
\mathdisp {0,342 \overline{019}} { }
gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ =} { \sqrt[3]{-1 + \sqrt{2} } + \sqrt[3]{-1 - \sqrt{2} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Nullstelle des Polynoms
\mathdisp {X^3+3X+2} { }
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Man finde ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {f=a+bX+cX^2} { }
mit $a,b,c \in \R$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
\mathdisp {f(-1) =4,\, f(1) = 0,\, f(2) = -7} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Beweise den Zwischenwertsatz.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Ordne die Zahlen
\mathdisp {\exp \left( 0,6 \right),\, \exp \left( 0,7 \right) \text{ und } 2} { }
gemäß ihrer Größe.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme den Grenzwert der Folge
\mathdisp {\frac{ \sin n }{n} , \, n \in \N_+} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} {3x-2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen Geraden.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Beim Zahlenlotto auf dem Mars werden aus $49$ Kugeln $43$ Kugeln gezogen. Der große Traum eines jeden Marsmenschen ist es, einmal im Leben $43$ Richtige zu haben. In diesem Fall gewinnt man eine Reise zur Venus. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, im Marslotto zu gewinnen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beweise die Formel für die totale Wahrscheinlichkeit.
}
{} {}