Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/11/Klausur/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}


%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 4 }

\renewcommand{\avier}{ 1 }

\renewcommand{\afuenf}{ 2 }

\renewcommand{\asechs}{ 2 }

\renewcommand{\asieben}{ 1 }

\renewcommand{\aacht}{ 5 }

\renewcommand{\aneun}{ 5 }

\renewcommand{\azehn}{ 9 }

\renewcommand{\aelf}{ 3 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 6 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 1 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ 3 }

\renewcommand{\azwanzig}{ 64 }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabelleneunzehn


\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Linearkombination} {} zu Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} im $K^m$.

}{Die \stichwort {kanonische Projektion} {} zu einer \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} $\sim$ auf einer Menge $M$.

}{Ein \stichwort {vollständig} {} angeordneter Körper $K$.

}{Der \stichwort {Grad} {} eines Polynoms
\mathbed {P \in K[X]} {}
{P \neq 0} {}
{} {} {} {,} über einem Körper $K$.

}{Die \stichwort {Kosinusreihe} {} zu
\mathl{x \in \R}{.}

}{Die \stichwort {Bernoulli-Verteilung} {} zu
\mathl{p \in [0,1]}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über bijektive lineare Abbildungen und Matrizen.}{Der Satz über die algebraische Struktur des Äquivalenzklassenmodells für $\Z$.}{Die \stichwort {Bayessche Formel} {.}}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Löse das \definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} 3 x & \, \, \, \, \, \, \, \, & + z & +4 w & = & 4 \\ 2 x & +2 y & \, \, \, \, \, \, \, \, & + w & = & 0 \\ 4 x & +6 y & \, \, \, \, \, \, \, \, & + w & = & 2 \\ x & +3 y & +5 z & \, \, \, \, \, \, \, \, & = & 3 \, . \end{matrix}} { }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{1}
{

Bei einem linearen Gleichungssystem führe das Eliminationsverfahren auf die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Welche Folgerung kann man daraus schließen?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {K^m} {K^n } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Es sei
\mathl{v \in K^m}{.} Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi( -v) }
{ = }{- \varphi(v) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Zeige, dass die auf $\Z \times \N_+$ durch
\mathdisp {(a,b) \sim (c,d), \text{ falls } ad=bc} { , }
festgelegte \definitionsverweis {Relation}{}{} eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{1}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {} ein \definitionsverweis {surjektiver}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass $H$ ebenfalls kommutativ ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Zu
\mathl{n \in \N_+}{} sei $a_n$ die Summe der ungeraden Zahlen bis $n$ und $b_n$ die Summe der geraden Zahlen bis $n$. Entscheide, ob die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ =} { { \frac{ a_n }{ b_n } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in $\Q$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{,} und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Beweise die Aussage, dass eine Dezimalbruchfolge in einem archimedisch angeordneten Körper $K$ eine Cauchy-Folge ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{9 (2+4+3)}
{

Es sei
\mathl{u \in \R}{} eine \definitionsverweis {irrationale Zahl}{}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G }
{ =} { { \left\{ a+bu \mid a,b \in \Z \right\} } }
{ \subseteq} {\R }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Zeige, dass $G$ eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} von
\mathl{(\R,0,+)}{} ist. }{Zeige, dass es kein Element
\mathl{v \in \R}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G }
{ =} { \Z v }
{ =} { { \left\{ cv \mid c \in \Z \right\} } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt. }{Zeige, dass es in $G$ kein positives minimales Element gibt. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {rationale Zahl}{}{,} die im Dezimalsystem durch
\mathdisp {0,342 \overline{019}} { }
gegeben ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z }
{ =} { \sqrt[3]{-1 + \sqrt{2} } + \sqrt[3]{-1 - \sqrt{2} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine Nullstelle des Polynoms
\mathdisp {X^3+3X+2} { }
ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Man finde ein \definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {f=a+bX+cX^2} { }
mit $a,b,c \in \R$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
\mathdisp {f(-1) =4,\, f(1) = 0,\, f(2) = -7} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6}
{

Beweise den Zwischenwertsatz.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Ordne die Zahlen
\mathdisp {\exp \left( 0,6 \right),\, \exp \left( 0,7 \right) \text{ und } 2} { }
gemäß ihrer Größe.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Bestimme den Grenzwert der Folge
\mathdisp {\frac{ \sin n }{n} , \, n \in \N_+} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} {3x-2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegebenen Geraden.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{1}
{

Beim Zahlenlotto auf dem Mars werden aus $49$ Kugeln $43$ Kugeln gezogen. Der große Traum eines jeden Marsmenschen ist es, einmal im Leben $43$ Richtige zu haben. In diesem Fall gewinnt man eine Reise zur Venus. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, im Marslotto zu gewinnen?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Beweise die Formel für die totale Wahrscheinlichkeit.

}
{} {}