Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/11/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	4	1	2	2	1	5	5	9	3	3	3	6	4	3	3	1	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Linearkombination zu Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ im ${}K^{m}$.
2. Die kanonische Projektion zu einer Äquivalenzrelation ${}\sim$ auf einer Menge ${}M$.
3. Ein vollständig angeordneter Körper ${}K$.
4. Der Grad eines Polynoms ${}P\in K[X]$, ${}P\neq 0$, über einem Körper ${}K$.
5. Die Kosinusreihe zu ${}x\in \mathbb {R}$.
6. Die Bernoulli-Verteilung zu ${}p\in [0,1]$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über bijektive lineare Abbildungen und Matrizen.
2. Der Satz über die algebraische Struktur des Äquivalenzklassenmodells für ${}\mathbb {Z}$.
3. Die Bayessche Formel.

Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem

${\begin{matrix}3x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+z&+4w&=&4\\2x&+2y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&0\\4x&+6y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&2\\x&+3y&+5z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&3\,.\end{matrix}}$

Aufgabe * (1 Punkt)

Bei einem linearen Gleichungssystem führe das Eliminationsverfahren auf die Gleichung

${}0=1\,.$

Welche Folgerung kann man daraus schließen?

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon K^{m}\longrightarrow K^{n}$

eine lineare Abbildung. Es sei ${}v\in K^{m}$. Zeige ${}\varphi (-v)=-\varphi (v)$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass die auf ${}\mathbb {Z} \times \mathbb {N} _{+}$ durch

$(a,b)\sim (c,d),{\text{ falls }}ad=bc,$

festgelegte Relation eine Äquivalenzrelation ist.

Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe und

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ${}H$ ebenfalls kommutativ ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Zu ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ sei ${}a_{n}$ die Summe der ungeraden Zahlen bis ${}n$ und ${}b_{n}$ die Summe der geraden Zahlen bis ${}n$. Entscheide, ob die Folge

${}x_{n}={\frac {a_{n}}{b_{n}}}\,$

in ${}\mathbb {Q}$ konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die Aussage, dass eine Dezimalbruchfolge in einem archimedisch angeordneten Körper ${}K$ eine Cauchy-Folge ist.

Aufgabe * (9 (2+4+3) Punkte)

Es sei ${}u\in \mathbb {R}$ eine irrationale Zahl und sei

${}G={\left\{a+bu\mid a,b\in \mathbb {Z} \right\}}\subseteq \mathbb {R} \,.$

1. Zeige, dass ${}G$ eine Untergruppe von ${}(\mathbb {R} ,0,+)$ ist.
2. Zeige, dass es kein Element ${}v\in \mathbb {R}$ mit

   ${}G=\mathbb {Z} v={\left\{cv\mid c\in \mathbb {Z} \right\}}\,$

   gibt.

3. Zeige, dass es in ${}G$ kein positives minimales Element gibt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

$0,342{\overline {019}}$

gegeben ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass

${}z={\sqrt[{3}]{-1+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{-1-{\sqrt {2}}}}\,$

eine Nullstelle des Polynoms

$X^{3}+3X+2$

ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man finde ein Polynom

$f=a+bX+cX^{2}$

mit ${}a,b,c\in \mathbb {R}$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

$f(-1)=4,\,f(1)=0,\,f(2)=-7.$

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Zwischenwertsatz.

Aufgabe * (4 Punkte)

Ordne die Zahlen

$\exp \left(0,6\right),\,\exp \left(0,7\right){\text{ und }}2$

gemäß ihrer Größe.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der Folge

${\frac {\sin n}{n}},\,n\in \mathbb {N} _{+}.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch

${}y=3x-2\,$

gegebenen Geraden.

Aufgabe * (1 Punkt)

Beim Zahlenlotto auf dem Mars werden aus ${}49$ Kugeln ${}43$ Kugeln gezogen. Der große Traum eines jeden Marsmenschen ist es, einmal im Leben ${}43$ Richtige zu haben. In diesem Fall gewinnt man eine Reise zur Venus. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, im Marslotto zu gewinnen?

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise die Formel für die totale Wahrscheinlichkeit.