Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/12/Klausur/latex

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}


%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 4 }

\renewcommand{\avier}{ 3 }

\renewcommand{\afuenf}{ 2 }

\renewcommand{\asechs}{ 5 }

\renewcommand{\asieben}{ 3 }

\renewcommand{\aacht}{ 3 }

\renewcommand{\aneun}{ 3 }

\renewcommand{\azehn}{ 3 }

\renewcommand{\aelf}{ 2 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 5 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 2 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 3 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ 6 }

\renewcommand{\azwanzig}{ 64 }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabelleneunzehn


\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Ebene} {} im $K^n$.

}{Die \stichwort {inverse Matrix} {} zu einer \definitionsverweis {invertierbaren Matrix}{}{}
\mathl{M \in \operatorname{Mat}_{ n } (K)}{} über einem Körper $K$.

}{Die Äquivalenzrelation $\sim_H$ zu einer Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H }
{ \subseteq }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in einer kommutativen Gruppe.

}{Ein \stichwort {normiertes} {} Polynom.

}{Der Ausdruck
\mathl{b^q}{} zu
\mathl{b \in \R_+}{} und
\mathl{q \in \Q}{.}

}{Die \stichwort {bedingte Wahrscheinlichkeit} {} zu einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B }
{ \subseteq }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum
\mathl{(M,P)}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über den Zusammenhang von Zeilenumformungen und Elementarmatrizen.}{Der \stichwort {Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms} {} über einem Körper $K$.}{Der Satz über die Verteilung bei der $n$-fachen Hintereinanderausführung eines Bernoulli-Experimentes.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Bestimme den Kern der durch die Matrix
\mathdisp {M= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 & -1 \\ 4 & 2 & 2 & 5 \end{pmatrix}} { }
gegebenen linearen Abbildung \maabbdisp {\varphi} {\R^4} {\R^2 } {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in zwei Variablen über $\Q$ gegeben. Die Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen seien Geraden. Skizziere die drei Möglichkeiten, wie die Lösungsmenge des Systems aussehen kann.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Es sei $B$ eine $n \times p$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} und $A$ eine $m\times n$-Matrix und es seien
\mathdisp {K^p \stackrel{B}{\longrightarrow} K^n \stackrel{A}{\longrightarrow} K^m} { }
die zugehörigen \definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Matrixprodukt}{}{}
\mathl{A \circ B}{} die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen beschreibt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Wir betrachten die drei Ebenen
\mathl{E,F,G}{} im $\Q^3$, die durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden. \aufzaehlungdrei{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E }
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \Q^3 \mid 5x-4y+3z = 2 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F }
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \Q^3 \mid 7x-5y+6z = 3 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G }
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \Q^3 \mid 2x-y+4z = 5 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} } Bestimme sämtliche Punkte
\mathl{E \cap F \setminus E \cap F \cap G}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Zeige, dass die folgende Relation eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} auf $\Z$ ist:
\mathdisp {x \sim y, \text{ falls } 6 \text{ ein Teiler von } x-y \text{ ist}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} genau dann ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist, wenn er genau zwei \definitionsverweis {Ideale}{}{} enthält.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Löse das folgende \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{} über dem \definitionsverweis {Körper}{}{}
\mathl{\Z/(7)}{.}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 4 \\6 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} $K$ enthalte die Wurzeln \mathkor {} {\sqrt[3]{2}} {und} {\sqrt[7]{2}} {.} Zeige, dass $K$ auch
\mathl{\sqrt[21]{2}}{} enthält.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2 (1+1)}
{

Die Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} sei durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ =} { \begin{cases} 1,\, \text{ falls } n \text{ eine Primzahl ist} \, , \\ 0 \, \text{ sonst} \, , \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert. \aufzaehlungzwei {Bestimme
\mathl{x_{117}}{} und
\mathl{x_{127}}{.} } {Konvergiert die Folge in $\Q$? }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Wir betrachten die Folge, die durch die Folgenglieder
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 3 }{ 4 } } \cdot { \frac{ 5 }{ 6 } } \cdots { \frac{ 2n-1 }{ 2n } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben ist. Zeige, dass dies eine Nullfolge ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Beweise den Satz über die Anordnung von Cauchy-Folgen über einem angeordneten Körper.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Zeige, dass die harmonische Reihe divergiert.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Eine reelle Zahl $x$ besitze die Ziffernentwicklung
\mathdisp {0{,}523 \dotso} { }
im Dezimalsystem. Was kann man über die Ziffernentwicklung von $1/x$ sagen?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Beweise den \stichwort {Satz von Vieta} {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Bestimme für das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} {-6 X^{9}-5X^8 -4X^7+ { \frac{ 1 }{ 9 } } X^6 + X^2 +X }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu $X^6$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Führe in $\Z/(5)[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=X^3+4X^2+3X+4} {und} {T=3X^2+2X+1} {} durch.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6 (1+3+2)}
{

Aus den Zahlen
\mathl{\{1 , \ldots , n \}}{} wird zufällig eine Zahl ausgewählt. \aufzaehlungdrei{Erstelle in Abhängigkeit von $n$ eine Formel für die Wahrscheinlichkeit, dass die gewählte Zahl eine Quadratzahl ist. }{Ist die Folge der Wahrscheinlichkeiten monoton? }{Konvergiert diese Wahrscheinlichkeit, wenn $n$ gegen unendlich geht? }

}
{} {}