Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/12/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 4 3 2 5 3 3 3 3 2 5 5 3 3 3 2 3 6 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Ebene im .
  2. Die inverse Matrix zu einer invertierbaren Matrix über einem Körper .
  3. Die Äquivalenzrelation zu einer Untergruppe in einer kommutativen Gruppe.
  4. Ein normiertes Polynom.
  5. Der Ausdruck zu und .
  6. Die bedingte Wahrscheinlichkeit zu einer Teilmenge in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über den Zusammenhang von Zeilenumformungen und Elementarmatrizen.
  2. Der Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper .
  3. Der Satz über die Verteilung bei der -fachen Hintereinanderausführung eines Bernoulli-Experimentes.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den Kern der durch die Matrix

gegebenen linearen Abbildung


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in zwei Variablen über gegeben. Die Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen seien Geraden. Skizziere die drei Möglichkeiten, wie die Lösungsmenge des Systems aussehen kann.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei eine -Matrix und eine -Matrix und es seien

die zugehörigen linearen Abbildungen. Zeige, dass das Matrixprodukt die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen beschreibt.


Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die drei Ebenen im , die durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden.

Bestimme sämtliche Punkte .


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die folgende Relation eine Äquivalenzrelation auf ist:


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass ein kommutativer Ring genau dann ein Körper ist, wenn er genau zwei Ideale enthält.


Aufgabe * (3 Punkte)

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper .


Aufgabe * (3 Punkte)

Ein angeordneter Körper enthalte die Wurzeln und . Zeige, dass auch enthält.


Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Die Folge sei durch

definiert.

  1. Bestimme und .
  2. Konvergiert die Folge in ?


Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die Folge, die durch die Folgenglieder

gegeben ist. Zeige, dass dies eine Nullfolge ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über die Anordnung von Cauchy-Folgen über einem angeordneten Körper.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die harmonische Reihe divergiert.


Aufgabe * (3 Punkte)

Eine reelle Zahl besitze die Ziffernentwicklung

im Dezimalsystem. Was kann man über die Ziffernentwicklung von sagen?


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz von Vieta.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme für das Polynom

den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu .


Aufgabe * (3 Punkte)

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe * (6 (1+3+2) Punkte)

Aus den Zahlen wird zufällig eine Zahl ausgewählt.

  1. Erstelle in Abhängigkeit von eine Formel für die Wahrscheinlichkeit, dass die gewählte Zahl eine Quadratzahl ist.
  2. Ist die Folge der Wahrscheinlichkeiten monoton?
  3. Konvergiert diese Wahrscheinlichkeit, wenn gegen unendlich geht?