Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/13/Klausur/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}


%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 2 }

\renewcommand{\avier}{ 2 }

\renewcommand{\afuenf}{ 8 }

\renewcommand{\asechs}{ 6 }

\renewcommand{\asieben}{ 4 }

\renewcommand{\aacht}{ 3 }

\renewcommand{\aneun}{ 1 }

\renewcommand{\azehn}{ 3 }

\renewcommand{\aelf}{ 3 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 1 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 1 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ 2 }

\renewcommand{\azwanzig}{ 2 }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 64 }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellezwanzig


\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Einheitsmatrix} {} $E_n$.

}{Der \stichwort {Graph} {} zu einer Abbildung \maabb {F} {L} {M } {.}

}{Die \stichwort {Reflexivität} {} einer \definitionsverweis {Relation}{}{} $R$ auf einer Menge $M$.

}{Ein \stichwort {abgeschlossenes Intervall} {} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$.

}{Der \stichwort {Leitkoeffizient} {} zu einem Polynom $P \in K[X]$, $P \neq 0$.

}{Der \stichwort {Einheitskreis} {.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.}{Der Satz über die Intervallschachtelung für die Eulersche Zahl.}{Die Periodizitätseigenschaften für die Kosinusfunktion.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit $3$ Schneeglöckchen und $4$ Mistelzweigen
\mathl{2{,}50}{} \euro\ und Jennifer zahlt für einen Strauß aus $5$ Schneeglöckchen und $2$ Mistelzweigen
\mathl{2{,}30}{} \euro . Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und $11$ Mistelzweigen?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Skizziere sieben Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in acht Punkten schneiden.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{8}
{

Beweise den Festlegungssatz für lineare Abbildungen \maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m } {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A }
{ = }{ \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {Matrizen}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A \circ M }
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass dann auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M \circ A }
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{.} Betrachte die \definitionsverweis {Relation}{}{} $\sim$ auf $G$, die durch
\mathdisp {x \sim y \text{ genau dann, wenn } x =y \text{ oder } x = y^{-1}} { }
erklärt ist. Zeige, dass $\sim$ eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Bestimme das inverse Element zu
\mathl{\overline{25}}{} in
\mathl{\Z/(89)}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{1}
{

Drücke
\mathdisp {\sqrt[2]{5} \cdot \sqrt[3]{7}} { }
mit einer einzigen Wurzel aus.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Eine Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$ sei durch einen Anfangswert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0 }
{ \in }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und durch die Rekursionsvorschrift
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_{n+1} }
{ =} {- x_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Entscheide, ob die \definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n }
{ =} {\frac{3n^3-n^2-7}{2n^3+n+8} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in $\Q$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{} und bestimme gegebenenfalls den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {} \definitionsverweis {Folgen}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
\mathl{K}{} mit
\mathl{x_n,y_n \in K_+}{} für alle
\mathl{n \in \N}{.} Es sei
\mathl{x_n^2 -y_n^2}{} eine \definitionsverweis {Nullfolge}{}{.} Zeige, dass
\mathl{x_n -y_n}{} ebenfalls eine Nullfolge ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Sei
\mathl{m \in \N_+}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} {0, \overline{0 \ldots 0 1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die reelle Zahl mit Periodenlänge $m$ \zusatzklammer {die Periode besteht aus
\mathl{m-1}{} Nullen und einer $1$} {} {.} Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { \sum_{i = 0}^{m-1} z_i 10^{i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathl{z_i \in \{0,1,2 , \ldots , 9\}}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{xy }
{ =} { 0, \overline{z_{m-1} z_{m-2} \ldots z_1 z_0} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Erläutere, wie man Lücken auf der Zahlengeraden erkennen und auffüllen kann.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Sei
\mathl{P \in K[X]}{} ein Polynom und
\mathl{a \in K}{.} Zeige, dass $a$ genau dann eine Nullstelle von $P$ ist, wenn $P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms
\mathl{X-a}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Bestimme die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der beiden reellen Polynome
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} {X^3+4X^2-7X+1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q }
{ =} {X^3-2X^2+5X+3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{1}
{

Bestimme den Exponenten, die Potenz und die Basis im Ausdruck
\mathdisp {{ \left( { \frac{ 3 }{ 2 } } \right) }^\pi} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{1}
{

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im $\R^2$ mit Mittelpunkt
\mathl{(-5,5)}{,} der durch den Punkt
\mathl{(-4,-1)}{} läuft.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Was ist wahrscheinlicher: Ein Lottogewinn mit sechs Richtigen oder, dass bei einem $24$-fachen Münzwurf stets Kopf fällt?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Beweise die Bayessche Formel.

}
{} {}