Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/13/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 2 2 8 6 4 3 1 3 3 5 4 4 4 3 1 1 2 2 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Einheitsmatrix .
  2. Der Graph zu einer Abbildung .
  3. Die Reflexivität einer Relation auf einer Menge .
  4. Ein abgeschlossenes Intervall in einem angeordneten Körper .
  5. Der Leitkoeffizient zu einem Polynom , .
  6. Der Einheitskreis.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.
  2. Der Satz über die Intervallschachtelung für die Eulersche Zahl.
  3. Die Periodizitätseigenschaften für die Kosinusfunktion.


Aufgabe * (2 Punkte)

Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit Schneeglöckchen und Mistelzweigen € und Jennifer zahlt für einen Strauß aus Schneeglöckchen und Mistelzweigen €. Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und Mistelzweigen?


Aufgabe * (2 Punkte)

Skizziere sieben Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in acht Punkten schneiden.


Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Festlegungssatz für lineare Abbildungen


Aufgabe * (6 Punkte)

Es seien und Matrizen über einem Körper mit

Zeige, dass dann auch

gilt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei eine Gruppe. Betrachte die Relation auf , die durch

erklärt ist. Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das inverse Element zu in .


Aufgabe * (1 Punkt)

Drücke

mit einer einzigen Wurzel aus.


Aufgabe * (3 Punkte)

Eine Folge in einem angeordneten Körper sei durch einen Anfangswert und durch die Rekursionsvorschrift

gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.


Aufgabe * (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien und Folgen in einem angeordneten Körper mit für alle . Es sei eine Nullfolge. Zeige, dass ebenfalls eine Nullfolge ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei und sei

die reelle Zahl mit Periodenlänge (die Periode besteht aus Nullen und einer ). Sei

mit . Zeige


Aufgabe (4 Punkte)

Erläutere, wie man Lücken auf der Zahlengeraden erkennen und auffüllen kann.


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Sei ein Polynom und . Zeige, dass genau dann eine Nullstelle von ist, wenn ein Vielfaches des linearen Polynoms ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die -Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der beiden reellen Polynome

und


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme den Exponenten, die Potenz und die Basis im Ausdruck


Aufgabe * (1 Punkt)

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im mit Mittelpunkt , der durch den Punkt läuft.


Aufgabe * (2 Punkte)

Was ist wahrscheinlicher: Ein Lottogewinn mit sechs Richtigen oder, dass bei einem -fachen Münzwurf stets Kopf fällt?


Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise die Bayessche Formel.