Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/14/Klausur/latex

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}


%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 2 }

\renewcommand{\avier}{ 4 }

\renewcommand{\afuenf}{ 2 }

\renewcommand{\asechs}{ 1 }

\renewcommand{\asieben}{ 3 }

\renewcommand{\aacht}{ 5 }

\renewcommand{\aneun}{ 3 }

\renewcommand{\azehn}{ 3 }

\renewcommand{\aelf}{ 2 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 1 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 8 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ 3 }

\renewcommand{\azwanzig}{ 4 }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 64 }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellezwanzig


\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {lineare} {} Abbildung \maabb {\varphi} {K^n} { K^m } {,} wobei $K$ einen \definitionsverweis {Körper}{}{} bezeichnet.

}{Die \stichwort {Äquivalenzklasse} {} zu einem Element
\mathl{x \in M}{} in einer Menge $M$ mit einer \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} $\sim$.

}{Eine \stichwort {beschränkte} {} Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$.

}{Das \stichwort {geometrische Mittel} {} von zwei positiven reellen Zahlen \mathkor {} {a} {und} {b} {.}

}{Der \stichwort {Kosinus} {} zu einem Winkel $\alpha$.

}{Das \stichwort {Wahrscheinlichkeitsmaß} {} auf einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum
\mathl{(M,f)}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die algebraische Struktur des Äquivalenzklassenmodells für $\Q$.}{Der Satz über wachsende, nach oben beschränkte Folgen in $\R$.}{Der \stichwort {Zwischenwertsatz} {.}}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-7x+3y }
{ =} {-4 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} im $\Q^ 2$ gegebene Gerade.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Kern}{}{} der \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\R^4} {\R^3} { \begin{pmatrix} x \\y\\ z\\w \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 & 2 \\ 3 & -2 & 7 & -1 \\ 2 & -1 & -4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y\\ z\\w \end{pmatrix} } {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Relation}{}{} auf
\mathl{\N \times \N}{,} die durch
\mathdisp {(a,b) \sim (c,d), \text{ falls } a+d = b+c} { , }
festgelegt ist, eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{1}
{

Erstelle eine Multiplikationstafel für den Restklassenring $\Z/(5)$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{.} Zeige, dass sich Gruppenelemente
\mathl{g \in G}{} und \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{} $\varphi$ von $\Z$ nach $G$ über die Korrespondenz
\mathdisp {g \longmapsto ( n \mapsto g^n ) \text{ und } \varphi \longmapsto \varphi(1)} { }
entsprechen.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Beweise den Satz über die Irrationalität der Wurzeln aus natürlichen Zahlen.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Berechne von Hand die Approximationen $x_1,x_2,x_3$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von $5$ zum Startwert $x_0=2$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{,} es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine Nullfolge in $K$ und ${ \left( y_n \right) }_{n \in \N }$ eine beschränkte Folge in $K$. Zeige, dass dann auch die Produktfolge $( x_n y_n)_{n \in \N}$ eine Nullfolge ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Bildet im Ring aller rationalen Folgen die Teilmenge der in $\Q$ konvergenten Folgen ein \definitionsverweis {Ideal}{}{?}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {rationale Zahl}{}{,} die im Dezimalsystem durch
\mathdisp {2,07 \overline{203}} { }
gegeben ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Wir betrachten Rechtecke mit dem konstanten Umfang $d$. Zeige, dass unter diesen Rechtecken das Quadrat den maximalen Flächeninhalt besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Forme die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^5+10x^4+x-5 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in eine äquivalente Gleichung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^5 +b_3y^3 + b_2y^2 + b_1y +b_0 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathl{b_i \in \Q}{} um.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{1}
{

Man finde ein Polynom
\mathl{f \in \R[X]}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(0) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(1) }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(-1) }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(3) }
{ = }{9 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei
\mathl{a \in \R}{} und seien \maabbdisp {f,g} {\R} {\R } {} stetige Funktionen mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(a) }
{ >} {g(a) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass es ein
\mathl{\delta >0}{} derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ >} {g(x) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mathl{x \in [a - \delta,a + \delta]}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Berechne
\mathdisp {5^{ { \frac{ 2 }{ 3 } } }} { }
bis auf einen Fehler von
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 10 } }}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{8 (1+1+1+2+3)}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid y = x^2 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Standardparabel und $K$ der Kreis mit dem Mittelpunkt $(0,1)$ und dem Radius $1$. \aufzaehlungfuenf{Skizziere \mathkor {} {P} {und} {K} {.} }{Erstelle eine Gleichung für $K$. }{Bestimme die Schnittpunkte
\mathdisp {P \cap K} { . }
}{Beschreibe die untere Kreisbogenhälfte als Graph einer Funktion von
\mathl{[-1,1]}{} nach $\R$. }{Bestimme, wie die Parabel relativ zum unteren Kreisbogen verläuft. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+1+1)}
{

Skat wird mit $32$ Karten gespielt, dabei gibt es vier Könige und vier Damen \zusatzklammer {die Buben werden in dieser Aufgabe als Kinder betrachtet} {} {.} Der \anfuehrung{Skat}{} besteht aus zwei zufälligen Karten und spielt eine besondere Rolle. \aufzaehlungdrei{Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Skat zwei Könige sind? }{Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Skat ein gleichgeschlechtliches Paar ist? }{Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Skat ein gemischtgeschlechtliches Paar ist? }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es werden unabhängig voneinander zwei Zahlen
\mathl{x,y}{} aus
\mathl{\{1,2 , \ldots , 10\}}{} gezogen \zusatzklammer {mit Zurücklegen} {} {.} Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{xy }
{ \geq} {50 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}