Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/14/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 1 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 5 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 2 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 1 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 8 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 3 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 4 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellezwanzig
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {lineare} {} Abbildung \maabb {\varphi} {K^n} { K^m } {,} wobei $K$ einen \definitionsverweis {Körper}{}{} bezeichnet.
}{Die
\stichwort {Äquivalenzklasse} {}
zu einem Element
\mathl{x \in M}{} in einer Menge $M$ mit einer
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
$\sim$.
}{Eine
\stichwort {beschränkte} {}
Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
$K$.
}{Das \stichwort {geometrische Mittel} {} von zwei positiven reellen Zahlen \mathkor {} {a} {und} {b} {.}
}{Der \stichwort {Kosinus} {} zu einem Winkel $\alpha$.
}{Das
\stichwort {Wahrscheinlichkeitsmaß} {}
auf einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum
\mathl{(M,f)}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die algebraische Struktur des Äquivalenzklassenmodells für $\Q$.}{Der Satz über wachsende, nach oben beschränkte Folgen in $\R$.}{Der \stichwort {Zwischenwertsatz} {.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-7x+3y
}
{ =} {-4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im $\Q^ 2$ gegebene Gerade.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme den \definitionsverweis {Kern}{}{} der \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\R^4} {\R^3} { \begin{pmatrix} x \\y\\ z\\w \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 & 2 \\ 3 & -2 & 7 & -1 \\ 2 & -1 & -4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y\\ z\\w \end{pmatrix} } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Relation}{}{}
auf
\mathl{\N \times \N}{,} die durch
\mathdisp {(a,b) \sim (c,d), \text{ falls } a+d = b+c} { , }
festgelegt ist, eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Erstelle eine Multiplikationstafel für den Restklassenring $\Z/(5)$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{.}
Zeige, dass sich Gruppenelemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
und
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{}
$\varphi$ von $\Z$ nach $G$ über die Korrespondenz
\mathdisp {g \longmapsto ( n \mapsto g^n ) \text{ und } \varphi \longmapsto \varphi(1)} { }
entsprechen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise den Satz über die Irrationalität der Wurzeln aus natürlichen Zahlen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Berechne von Hand die Approximationen $x_1,x_2,x_3$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von $5$ zum Startwert $x_0=2$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{,} es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine Nullfolge in $K$ und ${ \left( y_n \right) }_{n \in \N }$ eine beschränkte Folge in $K$. Zeige, dass dann auch die Produktfolge $( x_n y_n)_{n \in \N}$ eine Nullfolge ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bildet im Ring aller rationalen Folgen die Teilmenge der in $\Q$ konvergenten Folgen ein \definitionsverweis {Ideal}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {rationale Zahl}{}{,}
die im Dezimalsystem durch
\mathdisp {2,07 \overline{203}} { }
gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Wir betrachten Rechtecke mit dem konstanten Umfang $d$. Zeige, dass unter diesen Rechtecken das Quadrat den maximalen Flächeninhalt besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Forme die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^5+10x^4+x-5
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in eine äquivalente Gleichung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^5 +b_3y^3 + b_2y^2 + b_1y +b_0
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_i
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
um.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Man finde ein Polynom
\mathl{f \in \R[X]}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(0)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(1)
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(-1)
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(3)
}
{ = }{9
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mathl{a \in \R}{} und seien
\maabbdisp {f,g} {\R} {\R
} {}
stetige Funktionen mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(a)
}
{ >} {g(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es ein
\mathl{\delta >0}{} derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ >} {g(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{x \in [a - \delta,a + \delta]}{} gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Berechne
\mathdisp {5^{ { \frac{ 2 }{ 3 } } }} { }
bis auf einen Fehler von
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 10 } }}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8 (1+1+1+2+3)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid y = x^2 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Standardparabel und $K$ der Kreis mit dem Mittelpunkt $(0,1)$ und dem Radius $1$.
\aufzaehlungfuenf{Skizziere
\mathkor {} {P} {und} {K} {.}
}{Erstelle eine Gleichung für $K$.
}{Bestimme die Schnittpunkte
\mathdisp {P \cap K} { . }
}{Beschreibe die untere Kreisbogenhälfte als Graph einer Funktion von
\mathl{[-1,1]}{} nach $\R$.
}{Bestimme, wie die Parabel relativ zum unteren Kreisbogen verläuft.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+1+1)}
{
Skat wird mit $32$ Karten gespielt, dabei gibt es vier Könige und vier Damen \zusatzklammer {die Buben werden in dieser Aufgabe als Kinder betrachtet} {} {.} Der \anfuehrung{Skat}{} besteht aus zwei zufälligen Karten und spielt eine besondere Rolle. \aufzaehlungdrei{Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Skat zwei Könige sind? }{Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Skat ein gleichgeschlechtliches Paar ist? }{Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Skat ein gemischtgeschlechtliches Paar ist? }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es werden unabhängig voneinander zwei Zahlen
\mathl{x,y}{} aus
\mathl{\{1,2 , \ldots , 10\}}{} gezogen
\zusatzklammer {mit Zurücklegen} {} {.}
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{xy
}
{ \geq} {50
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}