Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/14/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 2 4 2 1 3 5 3 3 2 3 3 4 1 4 3 8 3 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine lineare Abbildung , wobei einen Körper bezeichnet.
  2. Die Äquivalenzklasse zu einem Element in einer Menge mit einer Äquivalenzrelation .
  3. Eine beschränkte Folge in einem angeordneten Körper .
  4. Das geometrische Mittel von zwei positiven reellen Zahlen und .
  5. Der Kosinus zu einem Winkel .
  6. Das Wahrscheinlichkeitsmaß auf einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die algebraische Struktur des Äquivalenzklassenmodells für .
  2. Der Satz über wachsende, nach oben beschränkte Folgen in .
  3. Der Zwischenwertsatz.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung

im gegebene Gerade.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den Kern der linearen Abbildung


Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass die Relation auf , die durch

fesgelegt ist, eine Äquivalenzrelation ist.


Aufgabe * (1 Punkt)

Erstelle eine Multiplikationstafel für den Restklassenring .


Aufgabe * (3 Punkte)

Sei eine Gruppe. Zeige, dass sich Gruppenelemente und Gruppenhomomorphismen von nach über die Korrespondenz

entsprechen.


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über die Irrationalität der Wurzeln aus natürlichen Zahlen.


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne von Hand die Approximationen im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von zum Startwert .


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper, es sei eine Nullfolge in und eine beschränkte Folge in . Zeige, dass dann auch die Produktfolge eine Nullfolge ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bildet im Ring aller rationalen Folgen die Teilmenge der in konvergenten Folgen ein Ideal?


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

gegeben ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten Rechtecke mit dem konstanten Umfang . Zeige, dass unter diesen Rechtecken das Quadrat den maximalen Flächeninhalt besitzt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Forme die Gleichung

in eine äquivalente Gleichung der Form

mit um.


Aufgabe * (1 Punkt)

Man finde ein Polynom mit , , und .


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei und seien

stetige Funktionen mit

Zeige, dass es ein derart gibt, dass

für alle gilt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne

bis auf einen Fehler von .


Aufgabe * (8 (1+1+1+2+3) Punkte)

Es sei

die Standardparabel und der Kreis mit dem Mittelpunkt und dem Radius .

  1. Skizziere und .
  2. Erstelle eine Gleichung für .
  3. Bestimme die Schnittpunkte
  4. Beschreibe die untere Kreisbogenhälfte als Graph einer Funktion von nach .
  5. Bestimme, wie die Parabel relativ zum unteren Kreisbogen verläuft.


Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Skat wird mit Karten gespielt, dabei gibt es vier Könige und vier Damen (die Buben werden in dieser Aufgabe als Kinder betrachtet). Der „Skat“ besteht aus zwei zufälligen Karten und spielt eine besondere Rolle.

  1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Skat zwei Könige sind?
  2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Skat ein gleichgeschlechtliches Paar ist?
  3. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Skat ein gemischtgeschlechtliches Paar ist?


Aufgabe * (4 Punkte)

Es werden unabhängig voneinander zwei Zahlen aus gezogen (mit Zurücklegen). Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass

ist.