Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/2/Klausur/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 4 }

\renewcommand{\avier}{ 4 }

\renewcommand{\afuenf}{ 7 }

\renewcommand{\asechs}{ 2 }

\renewcommand{\asieben}{ 3 }

\renewcommand{\aacht}{ 4 }

\renewcommand{\aneun}{ 5 }

\renewcommand{\azehn}{ 3 }

\renewcommand{\aelf}{ 5 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 6 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellesiebzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {lineare Gleichung} {} zu einer Variablenmenge
\mathl{X_1 , \ldots , X_n}{} über einem Körper $K$.

}{Die \stichwort {beschreibende Matrix} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m } {} \zusatzklammer {bezüglich der Standardbasen} {} {.}

}{Eine \stichwort {Relation} {} auf einer Menge $M$.

}{Eine \stichwort {Folge} {} in einer Menge $M$.

}{Die Zahl $\pi$.

}{Eine \stichwort {diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte} {} auf einer endlichen Menge $M$. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Lösungsmenge zu einem inhomogenen linearen Gleichungssystem.}{Der Satz über rationale Zahlen und periodische Ziffernentwicklung.}{Der Satz über die Verteilung bei einem $n$-fachen Münzwurf.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathdisp {\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \cdots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & 0 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \cdots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ m 1 } x _1 + a _{ m 2 } x _2 + \cdots + a _{ m n } x _{ n } & = & 0 \end{matrix}} { }
ein homogenes \definitionsverweis {lineares Gleichungssystem}{}{} über $K$. Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} des $K^n$ ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Finde \definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{}
\mathl{E_1 , \ldots , E_k}{} derart, dass
\mathl{E_k \circ \cdots \circ E_1 \circ M}{} die Einheitsmatrix ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{7}
{

Beweise den Satz über die Körpereigenschaft der Restklassenringe
\mathl{\Z/(n)}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Drücke
\mathdisp {\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[5]{7}} { }
mit einer einzigen Wurzel aus.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+2)}
{

Die Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} sei durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ =} { \begin{cases} { \frac{ 1 }{ k } } ,\, \text{ falls } n = 2^k \text{ mit } k \in \N_+ \, , \\ 0 \, \text{ sonst} \, , \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert. \aufzaehlungzwei {Bestimme
\mathl{x_1}{} und
\mathl{x_{8}}{.} } {Konvergiert die Folge in $\Q$? }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {} zwei \definitionsverweis {konvergente Folgen}{}{} mit
\mathl{x_n \geq y_n}{} für alle
\mathl{n \in \N}{.} Zeige, dass dann
\mathl{\lim_{n \rightarrow \infty} x_n \geq \lim_{n \rightarrow \infty} y_n}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5 (2+3)}
{

\aufzaehlungzwei {Bestimme die Glieder $x_1,x_2$ der \definitionsverweis {Heron-Folge}{}{} zur Berechnung von $\sqrt{3}$ mit dem Startglied
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_0 }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} } {Finde ganze Zahlen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a,b }
{ \neq} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { a+b \sqrt{3} } }
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 10 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Entscheide, ob die \definitionsverweis {reelle Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n }
{ =} {{ \frac{ 5n^{ \frac{ 3 }{ 2 } } +4 n^{ \frac{ 4 }{ 3 } } +n }{ 7n^{ \frac{ 5 }{ 3 } } +6 n^{ \frac{ 3 }{ 2 } } } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {mit $n \geq 1$} {} {} in $\R$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{} und bestimme gegebenenfalls den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5 (2+3)}
{

Es seien \maabbdisp {f,g,h} {\R} {\R } {} Funktionen.

a) Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( h \cdot g \right) } \circ f }
{ =} { { \left( h \circ f \right) } \cdot { \left( g \circ f \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( h \circ g \right) } \cdot f }
{ =} { { \left( h \cdot f \right) } \circ { \left( g \cdot f \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nicht gelten muss.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6 (1+4+1)}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} {X^3-X^2-5X+6 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Finde eine ganzzahlige Nullstelle von $P$. }{Finde sämtliche reellen Nullstellen von $P$. }{Bestimme eine Zerlegung von $P$ in Linearfaktoren. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{3 (1+1+1)}
{

Ein Schüler fragt: \anfuehrung{Ist
\mathl{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{} auch die Quadratwurzel aus irgendeiner Zahl?}{} \aufzaehlungdrei{Was ist Ihre Antwort? }{Könnte die Frage anders gemeint gewesen sein? }{Was wäre in diesem Fall Ihre Antwort? }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es seien \maabbdisp {f,g} {[a,b]} {\R } {} \definitionsverweis {stetige Funktionen}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(a) }
{ \geq }{g(a) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(b) }
{ \leq }{g(b) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es einen Punkt
\mathl{c \in [a,b]}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(c) }
{ = }{g(c) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 7 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegebenen Geraden.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass beim Zahlenlotto Zahlen gezogen werden, deren Summe $25$ ergibt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei $A$ das Ereignis, dass bei einem zehnfachen Münzwurf keinmal Kopf fällt, und es sei $B$ das Ereignis, dass bei einem hundertfachen Münzwurf höchstens zehnmal Kopf fällt. Welches Ereignis ist wahrscheinlicher?

}
{} {}