Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/2/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 4 4 7 2 3 4 5 3 5 6 3 3 2 3 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine lineare Gleichung zu einer Variablenmenge über einem Körper .
  2. Die beschreibende Matrix zu einer linearen Abbildung

    (bezüglich der Standardbasen).

  3. Eine Relation auf einer Menge .
  4. Eine Folge in einer Menge .
  5. Die Zahl .
  6. Eine diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte auf einer endlichen Menge .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Lösungsmenge zu einem inhomogenen linearen Gleichungssystem.
  2. Der Satz über rationale Zahlen und periodische Ziffernentwicklung.
  3. Der Satz über die Verteilung bei einem -fachen Münzwurf.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Körper und

ein homogenes lineares Gleichungssystem über . Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

Finde Elementarmatrizen derart, dass die Einheitsmatrix ist.


Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Körpereigenschaft der Restklassenringe .


Aufgabe * (2 Punkte)

Drücke

mit einer einzigen Wurzel aus.


Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

Die Folge sei durch

definiert.

  1. Bestimme und .
  2. Konvergiert die Folge in ?


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und zwei konvergente Folgen mit für alle . Zeige, dass dann gilt.


Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

  1. Bestimme die Glieder der Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startglied
  2. Finde ganze Zahlen

    mit


Aufgabe * (3 Punkte)

Entscheide, ob die reelle Folge

(mit ) in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

Es seien

Funktionen.

a) Zeige die Gleichheit

b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit

nicht gelten muss.


Aufgabe * (6 (1+4+1) Punkte)

Es sei

  1. Finde eine ganzzahlige Nullstelle von .
  2. Finde sämtliche reellen Nullstellen von .
  3. Bestimme eine Zerlegung von in Linearfaktoren.


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Ein Schüler fragt: „Ist auch die Quadratwurzel aus irgendeiner Zahl?“

  1. Was ist Ihre Antwort?
  2. Könnte die Frage anders gemeint gewesen sein?
  3. Was wäre in diesem Fall Ihre Antwort?


Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien

stetige Funktionen mit und . Zeige, dass es einen Punkt mit gibt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch

gegebenen Geraden.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass beim Zahlenlotto Zahlen gezogen werden, deren Summe ergibt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei das Ereignis, dass bei einem zehnfachen Münzwurf keinmal Kopf fällt, und es sei das Ereignis, dass bei einem hundertfachen Münzwurf höchstens zehnmal Kopf fällt. Welches Ereignis ist wahrscheinlicher?