Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/24/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 1 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 7 }
\renewcommand{\aacht}{ 1 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 12 }
\renewcommand{\aelf}{ 6 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 9 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellefuenfzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Eine
\stichwort {lineare Gleichung} {}
zu einer Variablenmenge
\mathl{X_1 , \ldots , X_n}{} über einem Körper $K$.
}{Eine \stichwortpraemath {m \times n} {Matrix}{} über einem Körper $K$.
}{Die \stichwort {Transitivität} {} einer \definitionsverweis {Relation}{}{} $R$ auf einer Menge $M$.
}{Die \stichwort {Konvergenz} {} einer Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem angeordneten Körper $K$ gegen $x \in K$.
}{Eine \stichwort {irrationale} {} Zahl.
}{Eine \stichwort {diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte} {} auf einer endlichen Menge $M$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über den Lösungsraum bei einer linearen Gleichung.}{Das \stichwort {Quetschkriterium} {} für Folgen in einem angeordneten Körper $K$.}{Die \stichwort {Formel für die totale Wahrscheinlichkeit} {.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Löse das
\definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} 2 x &
+3 y &
\, \, \, \, - z &
+ w & = & 2 \\ 2 x &
\, \, \, \, - y &
-2 z &
+ w & = & 0 \\ - x &
+ y &
+ z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & -2 \\ x &
+2 y &
+5 z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 3 \, . \end{matrix}} { }
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Inwiefern hat das Eliminationsverfahren für lineare Gleichungssysteme mit dem Induktionsprinzip zu tun?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
zu
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 4 & 4 & 1 \\0 & 0 & 5 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Biclique K 3 3.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Biclique K 3 3.svg } {} {Koko90} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Es sollen drei Häuser jeweils mit Leitungen an Wasser, Gas und Elektrizität angeschlossen werden. Beschreibe eine Möglichkeit, bei der es nur eine Überschneidung gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Beweise den Satz über die Körpereigenschaft der Restklassenringe
\mathl{\Z/(n)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Bestimme, ob die reelle Zahl
\mathdisp {\sqrt{10000000000000000000000000000}} { }
rational ist oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+1+1+1)}
{
Es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ die
\definitionsverweis {Heron-Folge}{}{}
zur Berechnung von $\sqrt{3}$ mit dem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und ${ \left( y_n \right) }_{n \in \N }$ die
\definitionsverweis {Heron-Folge}{}{}
zur Berechnung von $\sqrt{ { \frac{ 1 }{ 3 } } }$ mit dem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y_0
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungvier{Berechne
\mathkor {} {x_1} {und} {x_2} {.}
}{Berechne
\mathkor {} {y_1} {und} {y_2} {.}
}{Berechne
\mathkor {} {x_0 \cdot y_0, \, x_1 \cdot y_1} {und} {x_2 \cdot y_2} {.}
}{Konvergiert die
\definitionsverweis {Produktfolge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z_n
}
{ = }{x_n \cdot y_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
innerhalb der rationalen Zahlen?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{12 (2+1+2+3+2+2)}
{
Wir beschreiben eine Konstruktion von ineinander enthaltenen Intervallen, und gehen vom Einheitsintervall
\mathl{[0,1]}{} aus. Das Intervall wird in drei gleichlange Teilintervalle zerlegt und davon nehmen wir das dritte
\zusatzklammer {Regel 1} {} {.}
Das entstehende Intervall teilen wir in fünf gleichlange Teilintervalle ein und davon nehmen wir das vierte
\zusatzklammer {Regel 2} {} {.}
Jetzt wenden wir abwechselnd Regel 1 und Regel 2 an, immer bezogen auf das zuvor konstruierte Intervall. Dabei entsteht eine Folge von Intervallen
\mathbed {I_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {}
\zusatzklammer {$I_0$ ist das Einheitsintervall, das als Startintervall dient} {} {.}
\aufzaehlungsechs{Bestimme die Intervallgrenzen des Intervalls, das im zweiten Schritt konstruiert wird
\zusatzklammer {also von $I_2$, nachdem einmal die Regel $1$ und einmal die Regel 2 angewendet wurde} {} {.}
}{Wie kann man den Konstruktionsschritt, der durch die einmalige Hintereinanderausführung von Regel 1 und von Regel 2 gegeben ist, mit einer einzigen Regel ausdrücken?
}{Bestimme ein Intervall der Form $[ { \frac{ a }{ 100 } } , { \frac{ a }{ 100 } }+ { \frac{ 1 }{ 100 } }]$ mit
\mathl{a \in \N}{,} das ganz in $I_2$ enthalten ist.
}{Erstelle eine Formel, die die untere Intervallgrenze des Intervalls
\mathl{I_{2k}}{,}
\mathl{k \in \N}{,} ausdrückt.
}{Es gibt genau eine rationale Zahl $c$, die in jedem Intervall $I_n$ enthalten ist. Bestimme $c$ als Bruch.
}{Gibt es ein Ziffernsystem, in dem die rationale Zahl $c$ aus (5) eine Ziffernentwicklung mit Periodenlänge $1$ besitzt?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Beweise die Aussage, dass eine reelle Zahl, die eine periodische Dezimalentwicklung besitzt, eine rationale Zahl ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper $K$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fixiert. Zeige, dass die Potenzfunktion
\maabbeledisp {f} {\R_+} {\R
} {x} {x^u
} {,}
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Ergänze die folgende Tabelle, in der Winkel in verschiedenen Maßeinheiten miteinander in Bezug gesetzt werden. Die Prozentangabe bezieht sich auf den Vollkreis. %Daten für folgende Tabelle
\renewcommand{\leitzeilenull}{ }
\renewcommand{\leitzeileeins}{ Grad }
\renewcommand{\leitzeilezwei}{ Bogenmaß }
\renewcommand{\leitzeiledrei}{ Prozent }
\renewcommand{\leitzeilevier}{ }
\renewcommand{\leitzeilefuenf}{ }
\renewcommand{\leitzeilesechs}{ }
\renewcommand{\leitzeilesieben}{ }
\renewcommand{\leitzeileacht}{ }
\renewcommand{\leitzeileneun}{ }
\renewcommand{\leitzeilezehn}{ }
\renewcommand{\leitzeileelf}{ }
\renewcommand{\leitzeilezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltenull}{ }
\renewcommand{\leitspalteeins}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwei}{ }
\renewcommand{\leitspaltedrei}{ }
\renewcommand{\leitspaltevier}{ }
\renewcommand{\leitspaltefuenf}{ }
\renewcommand{\leitspaltesechs}{ }
\renewcommand{\leitspaltesieben}{ }
\renewcommand{\leitspalteacht}{ }
\renewcommand{\leitspalteneun}{ }
\renewcommand{\leitspaltezehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltedreizehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltevierzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltefuenfzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesechzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesiebzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteachtzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteneunzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinsxeins}{ \, }
\renewcommand{\aeinsxzwei}{ \, }
\renewcommand{\aeinsxdrei}{ 100\,\% }
\renewcommand{\aeinsxvier}{ }
\renewcommand{\aeinsxfuenf}{ }
\renewcommand{\aeinsxsechs}{ }
\renewcommand{\aeinsxsieben}{ }
\renewcommand{\aeinsxacht}{ }
\renewcommand{\aeinsxneun}{ }
\renewcommand{\aeinsxzehn}{ }
\renewcommand{\aeinsxelf}{ }
\renewcommand{\aeinsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azweixeins}{ 270^{\circ} }
\renewcommand{\azweixzwei}{ \, }
\renewcommand{\azweixdrei}{ \, }
\renewcommand{\azweixvier}{ }
\renewcommand{\azweixfuenf}{ }
\renewcommand{\azweixsechs}{ }
\renewcommand{\azweixsieben}{ }
\renewcommand{\azweixacht}{ }
\renewcommand{\azweixneun}{ }
\renewcommand{\azweixzehn}{ }
\renewcommand{\azweixelf}{ }
\renewcommand{\azweixzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreixeins}{ \, }
\renewcommand{\adreixzwei}{ { \frac{ \pi }{ 10 } } }
\renewcommand{\adreixdrei}{ \, }
\renewcommand{\adreixvier}{ }
\renewcommand{\adreixfuenf}{ }
\renewcommand{\adreixsechs}{ }
\renewcommand{\adreixsieben}{ }
\renewcommand{\adreixacht}{ }
\renewcommand{\adreixneun}{ }
\renewcommand{\adreixzehn}{ }
\renewcommand{\adreixelf}{ }
\renewcommand{\adreixzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierxeins}{ 60^{\circ} }
\renewcommand{\avierxzwei}{ \, }
\renewcommand{\avierxdrei}{ \, }
\renewcommand{\avierxvier}{ }
\renewcommand{\avierxfuenf}{ }
\renewcommand{\avierxsechs}{ }
\renewcommand{\avierxsieben}{ }
\renewcommand{\avierxacht}{ }
\renewcommand{\avierxneun}{ }
\renewcommand{\avierxzehn}{ }
\renewcommand{\avierxelf}{ }
\renewcommand{\avierxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxeins}{ \, }
\renewcommand{\afuenfxzwei}{ \pi }
\renewcommand{\afuenfxdrei}{ \, }
\renewcommand{\afuenfxvier}{ }
\renewcommand{\afuenfxfuenf}{ }
\renewcommand{\afuenfxsechs}{ }
\renewcommand{\afuenfxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechsxeins}{ \, }
\renewcommand{\asechsxzwei}{ \, }
\renewcommand{\asechsxdrei}{ 1\,\% }
\renewcommand{\asechsxvier}{ }
\renewcommand{\asechsxfuenf}{ }
\renewcommand{\asechsxsechs}{ }
\renewcommand{\asechsxsieben}{ }
\renewcommand{\asechsxacht}{ }
\renewcommand{\asechsxneun}{ }
\renewcommand{\asechsxzehn}{ }
\renewcommand{\asechsxelf}{ }
\renewcommand{\asechsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxeins}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebenxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebenxvier}{ }
\renewcommand{\asiebenxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebenxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebenxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebenxacht}{ }
\renewcommand{\asiebenxneun}{ }
\renewcommand{\asiebenxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebenxelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtxeins}{ }
\renewcommand{\aachtxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtxvier}{ }
\renewcommand{\aachtxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtxacht}{ }
\renewcommand{\aachtxneun}{ }
\renewcommand{\aachtxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtxelf}{ }
\renewcommand{\aachtxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aneunxeins}{ }
\renewcommand{\aneunxzwei}{ }
\renewcommand{\aneunxdrei}{ }
\renewcommand{\aneunxvier}{ }
\renewcommand{\aneunxfuenf}{ }
\renewcommand{\aneunxsechs}{ }
\renewcommand{\aneunxsieben}{ }
\renewcommand{\aneunxacht}{ }
\renewcommand{\aneunxneun}{ }
\renewcommand{\aneunxzehn}{ }
\renewcommand{\aneunxelf}{ }
\renewcommand{\aneunxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azehnxeins}{ }
\renewcommand{\azehnxzwei}{ }
\renewcommand{\azehnxdrei}{ }
\renewcommand{\azehnxvier}{ }
\renewcommand{\azehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\azehnxsechs}{ }
\renewcommand{\azehnxsieben}{ }
\renewcommand{\azehnxacht}{ }
\renewcommand{\azehnxneun}{ }
\renewcommand{\azehnxzehn}{ }
\renewcommand{\azehnxelf}{ }
\renewcommand{\azehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aelfxeins}{ }
\renewcommand{\aelfxzwei}{ }
\renewcommand{\aelfxdrei}{ }
\renewcommand{\aelfxvier}{ }
\renewcommand{\aelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\aelfxsechs}{ }
\renewcommand{\aelfxsieben}{ }
\renewcommand{\aelfxacht}{ }
\renewcommand{\aelfxneun}{ }
\renewcommand{\aelfxzehn}{ }
\renewcommand{\aelfxelf}{ }
\renewcommand{\aelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxeins}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxdrei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxvier}{ }
\renewcommand{\azwoelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsechs}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsieben}{ }
\renewcommand{\azwoelfxacht}{ }
\renewcommand{\azwoelfxneun}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzehn}{ }
\renewcommand{\azwoelfxelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxeins}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxdrei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxvier}{ }
\renewcommand{\adreizehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsechs}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsieben}{ }
\renewcommand{\adreizehnxacht}{ }
\renewcommand{\adreizehnxneun}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzehn}{ }
\renewcommand{\adreizehnxelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxeins}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxvier}{ }
\renewcommand{\avierzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\avierzehnxacht}{ }
\renewcommand{\avierzehnxneun}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\avierzehnxelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxeins}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxvier}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asechzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asechzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asechzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asechzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxeins}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxvier}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxacht}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxneun}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwoelf}{ }
\tabelleleitsechsxdrei
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{9 (2+1+2+4)}
{
Beim Skat gibt es $32$ Karten, darunter $4$ Buben, und jeder Spieler bekommt $10$ Karten. \aufzaehlungvier{Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Spieler alle $4$ Buben bekommt. }{Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass einer der drei Spieler alle $4$ Buben bekommt. }{Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Spieler (genau) $2$ Buben bekommt. }{Spieler $A$ hat zwei Buben bekommen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler $B$ ebenfalls zwei Buben hat? }
}
{} {}