Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/4/Klausur/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 3 }

\renewcommand{\avier}{ 3 }

\renewcommand{\afuenf}{ 3 }

\renewcommand{\asechs}{ 3 }

\renewcommand{\asieben}{ 4 }

\renewcommand{\aacht}{ 4 }

\renewcommand{\aneun}{ 4 }

\renewcommand{\azehn}{ 6 }

\renewcommand{\aelf}{ 3 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 7 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 8 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 64 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellesechzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{\stichwort {Äquivalente} {} \zusatzklammer {inhomogene} {} {} \definitionsverweis {lineare Gleichungssysteme}{}{} zur gleichen Variablenmenge über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$.

}{Der \stichwort {Kern} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m } {.}

}{Die \stichwort {Restklassengruppe} {}
\mathl{G/H}{} zu einer Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H }
{ \subseteq }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in einer kommutativen Gruppe $G$.

}{Ein \stichwort {offenes Intervall} {} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$.

}{Eine \stichwort {rationale Funktion} {} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$.

}{\stichwort {Paarweise unabhängige} {} Ereignisse
\mathl{E_1 , \ldots , E_k}{} in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum $(M,\mu)$. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über das Matrixprodukt und die Hintereinanderschaltung von Abbildungen.}{Der \stichwort {Satz über die Intervallschachtelung} {.}}{Die Periodizitätseigenschaften für die Sinusfunktion.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+1+1)}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} 11 & -20 \\ 6 & -11 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

a) Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^2 }
{ =} {E_2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

b) Bestimme die \definitionsverweis {inverse Matrix}{}{} zu $M$.

c) Löse die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 4 \\-9 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{K^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.} Wir betrachten die \definitionsverweis {Relation}{}{} auf dem $K^n$, die durch
\mathdisp {v_1 \sim v_2 \text{ genau dann, wenn } v_1 - v_2 \in U} { }
definiert ist. Zeige, dass diese Relation eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Erläutere das Konzept der \stichwort {Wohldefiniertheit} {} anhand eines typischen Beispiels.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Löse das folgende \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{} über dem \definitionsverweis {Körper}{}{}
\mathl{\Z/(7)}{.}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 4 \\6 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei
\mathl{I=[a,b]}{} ein \definitionsverweis {Intervall}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$ mit
\mathl{0 \notin I}{.} Beschreibe die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { { \left\{ x\in K \mid x^{-1} \in [a,b] \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} als ein Intervall.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Berechne
\mathdisp {{ \left( { \frac{ 2 }{ 5 } } - { \frac{ 1 }{ 6 } } \sqrt[3]{2} + { \frac{ 1 }{ 5 } } { \left( \sqrt[3]{2} \right) }^2 \right) } \cdot { \left( - { \frac{ 2 }{ 5 } } +7 \sqrt[3]{2 }+ { \frac{ 1 }{ 4 } } { \left( \sqrt[3]{2} \right) }^2 \right) }} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} in $K$, die eine \definitionsverweis {konvergente}{}{} \definitionsverweis {Teilfolge}{}{} enthalte. Zeige, dass die Folge konvergiert.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6}
{

Beweise die Aussage, dass eine reelle Zahl, die eine periodische Dezimalentwicklung besitzt, eine rationale Zahl ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+2)}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass der \definitionsverweis {Grad}{}{} folgende Eigenschaften erfüllt. \aufzaehlungzwei { $\operatorname{grad} \, (P+Q) \leq \max \{ \operatorname{grad} \, (P),\, \operatorname{grad} \, (Q)\}$, } { $\operatorname{grad} \, (P \cdot Q) = \operatorname{grad} \, (P) + \operatorname{grad} \, (Q)$. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2 + p x +q }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine quadratische Gleichung über einem Körper $K$, und es sei $r\neq 0$ eine Lösung davon. Zeige, dass auch
\mathl{{ \frac{ q }{ r } }}{} eine Lösung der Gleichung ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} { 2x^3-4x+5 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass für alle
\mathl{x \in \R}{} die folgende Beziehung gilt: Wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x-3 } }
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 800 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x)-f(3) } }
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 10 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{7}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} $\neq 0$, die die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x+y) }
{ =} { f(x) \cdot f(y) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle $x,y \in \R$ erfüllt. Zeige, dass $f$ eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein $b>0$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ = }{b^x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden, die durch die beiden Punkte \mathkor {} {(-1,1)} {und} {(4,-2)} {} verläuft.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{8 (1+1+5+1)}
{

Es wollen $n$ Personen untereinander wichteln. Jede Person soll also genau von einer Person ein Geschenk bekommen, aber natürlich nicht von sich selbst. Die $n$ Personen schreiben ihren Namen auf einen Zettel, die Zettel werden in einem Hut gesammelt und daraus zieht jede Person einen Zettel, den sie dann beschenken soll. \aufzaehlungvier{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Namensziehung wichtelkonform ist? }{Wie viele Ziehmöglichkeiten gibt es bei allgemeinem $n$? }{Wie hoch ist bei allgemeinem $n$ die Wahrscheinlichkeit $p(n)$, dass eine Namensziehung wichtelkonform ist? }{Was kann man über die Konvergenz von $p(n)$ für $n \rightarrow \infty$ sagen? }

}
{} {}