Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/4/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 6 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 7 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 8 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{\stichwort {Äquivalente} {} \zusatzklammer {inhomogene} {} {} \definitionsverweis {lineare Gleichungssysteme}{}{} zur gleichen Variablenmenge über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$.
}{Der \stichwort {Kern} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m } {.}
}{Die
\stichwort {Restklassengruppe} {}
\mathl{G/H}{} zu einer Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einer kommutativen Gruppe $G$.
}{Ein \stichwort {offenes Intervall} {} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$.
}{Eine \stichwort {rationale Funktion} {} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$.
}{\stichwort {Paarweise unabhängige} {}
Ereignisse
\mathl{E_1 , \ldots , E_k}{} in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum $(M,\mu)$.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über das Matrixprodukt und die Hintereinanderschaltung von Abbildungen.}{Der \stichwort {Satz über die Intervallschachtelung} {.}}{Die Periodizitätseigenschaften für die Sinusfunktion.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+1+1)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 11 & -20 \\ 6 & -11 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^2
}
{ =} {E_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Bestimme die \definitionsverweis {inverse Matrix}{}{} zu $M$.
c) Löse die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 4 \\-9 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Relation}{}{}
auf dem $K^n$, die durch
\mathdisp {v_1 \sim v_2 \text{ genau dann, wenn } v_1 - v_2 \in U} { }
definiert ist. Zeige, dass diese Relation eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Erläutere das Konzept der \stichwort {Wohldefiniertheit} {} anhand eines typischen Beispiels.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Löse das folgende
\definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
\mathl{\Z/(7)}{.}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 4 \\6 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mathl{I=[a,b]}{} ein
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
$K$ mit
\mathl{0 \notin I}{.} Beschreibe die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left\{ x\in K \mid x^{-1} \in [a,b] \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als ein Intervall.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Berechne
\mathdisp {{ \left( { \frac{ 2 }{ 5 } } - { \frac{ 1 }{ 6 } } \sqrt[3]{2} + { \frac{ 1 }{ 5 } } { \left( \sqrt[3]{2} \right) }^2 \right) } \cdot { \left( - { \frac{ 2 }{ 5 } } +7 \sqrt[3]{2 }+ { \frac{ 1 }{ 4 } } { \left( \sqrt[3]{2} \right) }^2 \right) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} in $K$, die eine \definitionsverweis {konvergente}{}{} \definitionsverweis {Teilfolge}{}{} enthalte. Zeige, dass die Folge konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Beweise die Aussage, dass eine reelle Zahl, die eine periodische Dezimalentwicklung besitzt, eine rationale Zahl ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+2)}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Grad}{}{}
folgende Eigenschaften erfüllt.
\aufzaehlungzwei {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (P+Q)
}
{ \leq} { \max \{ \operatorname{grad} \, (P),\, \operatorname{grad} \, (Q)\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
} {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (P \cdot Q)
}
{ =} { \operatorname{grad} \, (P) + \operatorname{grad} \, (Q)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2 + p x +q
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine quadratische Gleichung über einem Körper $K$, und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Lösung davon. Zeige, dass auch
\mathl{{ \frac{ q }{ r } }}{} eine Lösung der Gleichung ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { 2x^3-4x+5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für alle
\mathl{x \in \R}{} die folgende Beziehung gilt: Wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x-3 }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 800 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x)-f(3) }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 10 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
$\neq 0$, die die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x+y)
}
{ =} { f(x) \cdot f(y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $x,y \in \R$ erfüllt. Zeige, dass $f$ eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein $b>0$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{b^x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden, die durch die beiden Punkte \mathkor {} {(-1,1)} {und} {(4,-2)} {} verläuft.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8 (1+1+5+1)}
{
Es wollen $n$ Personen untereinander wichteln. Jede Person soll also genau von einer Person ein Geschenk bekommen, aber natürlich nicht von sich selbst. Die $n$ Personen schreiben ihren Namen auf einen Zettel, die Zettel werden in einem Hut gesammelt und daraus zieht jede Person einen Zettel, den sie dann beschenken soll.
\aufzaehlungvier{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Namensziehung wichtelkonform ist?
}{Wie viele Ziehmöglichkeiten gibt es bei allgemeinem $n$?
}{Wie hoch ist bei allgemeinem $n$ die Wahrscheinlichkeit $p(n)$, dass eine Namensziehung wichtelkonform ist?
}{Was kann man über die Konvergenz von $p(n)$ für $n \rightarrow \infty$ sagen?
}
}
{} {}