Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/4/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 3 3 3 3 4 4 4 6 3 3 3 7 4 8 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Äquivalente (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge über einem Körper .
  2. Der Kern zu einer linearen Abbildung
  3. Die Restklassengruppe zu einer Untergruppe in einer kommutativen Gruppe .
  4. Ein offenes Intervall in einem angeordneten Körper .
  5. Eine rationale Funktion über einem Körper .
  6. Paarweise unabhängige Ereignisse in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über das Matrixprodukt und die Hintereinanderschaltung von Abbildungen.
  2. Der Satz über die Intervallschachtelung.
  3. Die Periodizitätseigenschaften für die Sinusfunktion.


Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei

a) Zeige

b) Bestimme die inverse Matrix zu .

c) Löse die Gleichung


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Körper und ein Untervektorraum. Wir betrachten die Relation auf dem , die durch

definiert ist. Zeige, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere das Konzept der Wohldefiniertheit anhand eines typischen Beispiels.


Aufgabe * (3 Punkte)

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper .


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Intervall in einem angeordneten Körper mit . Beschreibe die Menge

als ein Intervall.


Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper. Es sei eine Cauchy-Folge in , die eine konvergente Teilfolge enthalte. Zeige, dass die Folge konvergiert.


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise die Aussage, dass eine reelle Zahl, die eine periodische Dezimalentwicklung besitzt, eine rationale Zahl ist.


Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass der Grad folgende Eigenschaften erfüllt.

  1. ,
  2. .


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

eine quadratische Gleichung über einem Körper , und es sei eine Lösung davon. Zeige, dass auch eine Lösung der Gleichung ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

Zeige, dass für alle die folgende Beziehung gilt: Wenn

dann ist


Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei

eine stetige Funktion , die die Gleichung

für alle erfüllt. Zeige, dass eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein mit gibt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden, die durch die beiden Punkte und verläuft.


Aufgabe * (8 (1+1+5+1) Punkte)

Es wollen Personen untereinander wichteln. Jede Person soll also genau von einer Person ein Geschenk bekommen, aber natürlich nicht von sich selbst. Die Personen schreiben ihren Namen auf einen Zettel, die Zettel werden in einem Hut gesammelt und daraus zieht jede Person einen Zettel, den sie dann beschenken soll.

  1. Es sei . Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Namensziehung wichtelkonform ist?
  2. Wie viele Ziehmöglichkeiten gibt es bei allgemeinem ?
  3. Wie hoch ist bei allgemeinem die Wahrscheinlichkeit , dass eine Namensziehung wichtelkonform ist?
  4. Was kann man über die Konvergenz von für sagen?