Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/6/Klausur/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}


%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 2 }

\renewcommand{\avier}{ 4 }

\renewcommand{\afuenf}{ 1 }

\renewcommand{\asechs}{ 3 }

\renewcommand{\asieben}{ 3 }

\renewcommand{\aacht}{ 4 }

\renewcommand{\aneun}{ 3 }

\renewcommand{\azehn}{ 3 }

\renewcommand{\aelf}{ 3 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 2 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 4 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ 3 }

\renewcommand{\azwanzig}{ 4 }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 64 }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellezwanzig


\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Diagonalmatrix} {.}

}{Eine \stichwort {Ordnungs} {}relation $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$.

}{Ein \stichwort {Ringhomomorphismus} {} \maabbdisp {\varphi} {R} {S } {} zwischen \definitionsverweis {Ringen}{}{} \mathkor {} {R} {und} {S} {.}

}{Eine \stichwort {Intervallschachtelung} {} in einem angeordneten Körper $K$.

}{Ein Winkel im \stichwort {Bogenmaß} {.}

}{Ein \stichwort {Ereignis} {} in einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum
\mathl{M}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Äquivalenzrelation zu einer Abbildung \maabb {f} { M} {N } {.}}{Der Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.}{Die \stichwort {Formel für die totale Wahrscheinlichkeit} {.}}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{5x-8y }
{ =} {6 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} im $\Q^ 2$ gegebene Gerade.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+1+2)}
{

Die Zeitungen $A,B$ und $C$ verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit $100000$ potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten. \aufzaehlungvier{Die Abonnenten von $A$ bleiben zu $80\%$ bei $A$, $10\%$ wechseln zu $B$, $5 \%$ wechseln zu $C$ und $5 \%$ werden Nichtleser. }{Die Abonnenten von $B$ bleiben zu $60\%$ bei $B$, $10\%$ wechseln zu $A$, $20 \%$ wechseln zu $C$ und $10 \%$ werden Nichtleser. }{Die Abonnenten von $C$ bleiben zu $70\%$ bei $C$, niemand wechselt zu $A$, $10 \%$ wechseln zu $B$ und $20 \%$ werden Nichtleser. }{Von den Nichtlesern entscheiden sich je $10\%$ für ein Abonnement von
\mathl{A,B}{} oder $C$, die übrigen bleiben Nichtleser. }

a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.

b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je $20000$ Abonnenten und es gibt $40000$ Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?

c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls $100 000$ potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen \zusatzklammer {und wie viele Nichtleser gibt es noch} {} {} nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{1}
{

Bestimme, ob die durch die \definitionsverweis {Gaußklammer}{}{} gegebene Abbildung \maabbeledisp {} {\Q} {\Z } {q} { \lfloor q \rfloor } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist oder nicht.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{\{a,b\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine zweielementige Menge. Beschreibe vollständig \zusatzklammer {durch Auflistung aller zugehörigen Paare} {} {} die Relation auf der \definitionsverweis {Potenzmenge}{}{}
\mathl{\mathfrak {P} \, (M )}{,} die durch die Teilmengenbeziehung gegeben ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Bestimme das inverse Element zu
\mathl{\overline{55}}{} in
\mathl{\Z/(93)}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Finde alle Lösungen
\mathl{(a,b,c) \in K^3}{,} die das Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a \cdot b }
{ =} { c }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b \cdot c }
{ =} { a }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a \cdot c }
{ =} { b }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllen.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ in $K$ \definitionsverweis {beschränkt}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Vergleiche
\mathdisp {\sqrt{3} + \sqrt{7} \text{ und } \sqrt{4} + \sqrt{6}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Inwiefern ist eine \anfuehrung{Kommazahl}{} eine Folge, inwiefern eine Zahl?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei
\mathbed {I_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} eine \definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{} in $\R$. Zeige, dass der Durchschnitt
\mathdisp {\bigcap_{n \in \N} I_n} { }
aus genau einem Punkt
\mathl{x \in \R}{} besteht.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Bestimme den minimalen Wert der reellen Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} {x^2-3x+ { \frac{ 4 }{ 3 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper $K$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Zeige, dass die Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} mit
\mathdisp {f(x) = \begin{cases} x ,\, \text{ falls } x\in \Q \, , \\ 0,\, \text{ sonst} \, , \end{cases}} { }
nur im Nullpunkt stetig ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2 (1+1)}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ = }{ { \frac{ a }{ b } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {rationale Zahl}{}{.} \aufzaehlungzwei {Zeige, dass es ein normiertes Polynom
\mathl{P \in \Q[X]}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(z) }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt. } {Zeige, dass es ein Polynom
\mathl{Q \in \Q[X]}{} mit ganzzahligen Koeffizienten und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q(z) }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4 (3+1)}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 24 } } X^4 - { \frac{ 1 }{ 2 } } X^2+1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungzwei {Bestimme die kleinste positive Nullstelle von $P$. } {Besteht ein Zusammenhang zwischen dieser Nullstelle und ${ \frac{ \pi }{ 2 } }$? }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Im $\R^3$ sei durch
\mathdisp {{ \left\{ \begin{pmatrix} 2 \\4\\ 5 \end{pmatrix} +t \begin{pmatrix} 1 \\-3\\ 4 \end{pmatrix} \mid t \in \R \right\} }} { }
eine Gerade $G$ gegeben. In der $x-y$-Ebene $E$ sei $K$ der Kreis mit dem Mittelpunkt
\mathl{(0,0)}{} und dem Radius $8$. Liegt der Durchstoßungspunkt der Geraden $G$ mit der Ebene $E$ innerhalb, außerhalb oder auf dem Kreis $K$?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+2)}
{

Wir betrachten die Produktmenge
\mathl{\{K,Z\} \times \{K,Z \}}{} und ihre Teilmengen. Fridolin sagt:

\anfuehrung{Jede Teilmenge der Produktmenge ist selbst ein Produkt von Teilmengen. Die Menge
\mathl{\{K,Z\}}{} hat nämlich zwei Elemente, deshalb besitzt ihre Potenzmenge $2^2=4$ Elemente. Eine Produktmenge zu zwei Teilmengen besitzt die Form
\mathl{E_1 \times E_2}{.} Da hier jede Kombination erlaubt ist, muss es
\mathl{4 \cdot 4=16}{} Teilmengen geben, die selbst Produktmengen sind. Die Produktmenge
\mathl{\{K,Z\} \times \{K,Z \}}{} besitzt $4$ Elemente, somit besitzt ihre Potenzmenge $16$ Elemente. Somit gibt es überhaupt $16$ Ereignisse in der Produktmenge und $16$ Produktereignisse, also ist jedes Ereignis ein Produktereignis}{.}

\aufzaehlungzwei {Ist diese Aussage korrekt? } {Ist diese Argumentation korrekt? }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4 (2+2)}
{

\aufzaehlungzwei {Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei zwei aufeinander folgenden Lottoziehungen die gleichen Zahlen gezogen werden? } {Bauer Ernst spielt jede Woche Lotto. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zweimal hintereinander sechs Richtige hat? }

}
{} {}