Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/6/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 1 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 3 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 4 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellezwanzig
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Diagonalmatrix} {.}
}{Eine \stichwort {Ordnungs} {}relation $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$.
}{Ein \stichwort {Ringhomomorphismus} {} \maabbdisp {\varphi} {R} {S } {} zwischen \definitionsverweis {Ringen}{}{} \mathkor {} {R} {und} {S} {.}
}{Eine \stichwort {Intervallschachtelung} {} in einem angeordneten Körper $K$.
}{Ein Winkel im \stichwort {Bogenmaß} {.}
}{Ein
\stichwort {Ereignis} {}
in einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum
\mathl{M}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Äquivalenzrelation zu einer Abbildung \maabb {f} { M} {N } {.}}{Der Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.}{Die \stichwort {Formel für die totale Wahrscheinlichkeit} {.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{5x-8y
}
{ =} {6
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im $\Q^ 2$ gegebene Gerade.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+1+2)}
{
Die Zeitungen $A,B$ und $C$ verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit $100000$ potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.
\aufzaehlungvier{Die Abonnenten von $A$ bleiben zu $80\%$ bei $A$, $10\%$ wechseln zu $B$, $5 \%$ wechseln zu $C$ und $5 \%$ werden Nichtleser.
}{Die Abonnenten von $B$ bleiben zu $60\%$ bei $B$, $10\%$ wechseln zu $A$, $20 \%$ wechseln zu $C$ und $10 \%$ werden Nichtleser.
}{Die Abonnenten von $C$ bleiben zu $70\%$ bei $C$, niemand wechselt zu $A$, $10 \%$ wechseln zu $B$ und $20 \%$ werden Nichtleser.
}{Von den Nichtlesern entscheiden sich je $10\%$ für ein Abonnement von
\mathl{A,B}{} oder $C$, die übrigen bleiben Nichtleser.
}
a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.
b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je $20000$ Abonnenten und es gibt $40000$ Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?
c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls $100 000$ potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen
\zusatzklammer {und wie viele Nichtleser gibt es noch} {} {}
nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Bestimme, ob die durch die \definitionsverweis {Gaußklammer}{}{} gegebene Abbildung \maabbeledisp {} {\Q} {\Z } {q} { \lfloor q \rfloor } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{\{a,b\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine zweielementige Menge. Beschreibe vollständig
\zusatzklammer {durch Auflistung aller zugehörigen Paare} {} {}
die Relation auf der
\definitionsverweis {Potenzmenge}{}{}
\mathl{\mathfrak {P} \, (M )}{,} die durch die Teilmengenbeziehung gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme das inverse Element zu
\mathl{\overline{55}}{} in
\mathl{\Z/(93)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.}
Finde alle Lösungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a,b,c)
}
{ \in }{ K^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die das Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a \cdot b
}
{ =} { c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b \cdot c
}
{ =} { a
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a \cdot c
}
{ =} { b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
erfüllen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ in $K$ \definitionsverweis {beschränkt}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Vergleiche
\mathdisp {\sqrt{3} + \sqrt{7} \text{ und } \sqrt{4} + \sqrt{6}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Inwiefern ist eine \anfuehrung{Kommazahl}{} eine Folge, inwiefern eine Zahl?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mathbed {I_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{}
in $\R$. Zeige, dass der Durchschnitt
\mathdisp {\bigcap_{n \in \N} I_n} { }
aus genau einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besteht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme den minimalen Wert der reellen Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x^2-3x+ { \frac{ 4 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper $K$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Zeige, dass die Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { \begin{cases} x ,\, \text{ falls } x\in \Q \, , \\ 0,\, \text{ sonst} \, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nur im Nullpunkt stetig ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2 (1+1)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ = }{ { \frac{ a }{ b } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {rationale Zahl}{}{.}
a) Zeige, dass es ein normiertes Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \Q[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(z)
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
b) Zeige, dass es ein Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{ \Q[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit ganzzahligen Koeffizienten und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q(z)
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (3+1)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 24 } } X^4 - { \frac{ 1 }{ 2 } } X^2+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Bestimme die kleinste positive Nullstelle von $P$.
} {Besteht ein Zusammenhang zwischen dieser Nullstelle und ${ \frac{ \pi }{ 2 } }$?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Im $\R^3$ sei durch
\mathdisp {{ \left\{ \begin{pmatrix} 2 \\4\\ 5 \end{pmatrix} +t \begin{pmatrix} 1 \\-3\\ 4 \end{pmatrix} \mid t \in \R \right\} }} { }
eine Gerade $G$ gegeben. In der $x-y$-Ebene $E$ sei $K$ der Kreis mit dem Mittelpunkt
\mathl{(0,0)}{} und dem Radius $8$. Liegt der Durchstoßungspunkt der Geraden $G$ mit der Ebene $E$ innerhalb, außerhalb oder auf dem Kreis $K$?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+2)}
{
Wir betrachten die Produktmenge
\mathl{\{K,Z\} \times \{K,Z \}}{} und ihre Teilmengen. Fridolin sagt:
\anfuehrung{Jede Teilmenge der Produktmenge ist selbst ein Produkt von Teilmengen. Die Menge
\mathl{\{K,Z\}}{} hat nämlich zwei Elemente, deshalb besitzt ihre Potenzmenge $2^2=4$ Elemente. Eine Produktmenge zu zwei Teilmengen besitzt die Form
\mathl{E_1 \times E_2}{.} Da hier jede Kombination erlaubt ist, muss es
\mathl{4 \cdot 4=16}{} Teilmengen geben, die selbst Produktmengen sind. Die Produktmenge
\mathl{\{K,Z\} \times \{K,Z \}}{} besitzt $4$ Elemente, somit besitzt ihre Potenzmenge $16$ Elemente. Somit gibt es überhaupt $16$ Ereignisse in der Produktmenge und $16$ Produktereignisse, also ist jedes Ereignis ein Produktereignis}{.}
\aufzaehlungzwei {Ist diese Aussage korrekt? } {Ist diese Argumentation korrekt? }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (2+2)}
{
\aufzaehlungzwei {Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei zwei aufeinander folgenden Lottoziehungen die gleichen Zahlen gezogen werden? } {Bauer Ernst spielt jede Woche Lotto. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zweimal hintereinander sechs Richtige hat? }
}
{} {}