Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/6/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	2	4	1	3	3	4	3	3	3	4	2	4	5	2	4	4	3	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Diagonalmatrix.
2. Eine Ordnungsrelation ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$.
3. Ein Ringhomomorphismus

   $\varphi \colon R\longrightarrow S$

   zwischen Ringen ${}R$ und ${}S$.

4. Eine Intervallschachtelung in einem angeordneten Körper ${}K$.
5. Ein Winkel im Bogenmaß.
6. Ein Ereignis in einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum ${}M$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Äquivalenzrelation zu einer Abbildung ${}f\colon M\rightarrow N$.
2. Der Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.
3. Die Formel für die totale Wahrscheinlichkeit.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung

${}5x-8y=6\,$

im ${}\mathbb {Q} ^{2}$ gegebene Gerade.

Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

Die Zeitungen ${}A,B$ und ${}C$ verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit ${}100000$ potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.

1. Die Abonnenten von ${}A$ bleiben zu ${}80\%$ bei ${}A$, ${}10\%$ wechseln zu ${}B$, ${}5\%$ wechseln zu ${}C$ und ${}5\%$ werden Nichtleser.
2. Die Abonnenten von ${}B$ bleiben zu ${}60\%$ bei ${}B$, ${}10\%$ wechseln zu ${}A$, ${}20\%$ wechseln zu ${}C$ und ${}10\%$ werden Nichtleser.
3. Die Abonnenten von ${}C$ bleiben zu ${}70\%$ bei ${}C$, niemand wechselt zu ${}A$, ${}10\%$ wechseln zu ${}B$ und ${}20\%$ werden Nichtleser.
4. Von den Nichtlesern entscheiden sich je ${}10\%$ für ein Abonnement von ${}A,B$ oder ${}C$, die übrigen bleiben Nichtleser.

a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.

b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je ${}20000$ Abonnenten und es gibt ${}40000$ Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?

c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls ${}100000$ potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme, ob die durch die Gaußklammer gegebene Abbildung

$\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,q\longmapsto \lfloor q\rfloor ,$

ein Gruppenhomomorphismus ist oder nicht.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}M=\{a,b\}$ eine zweielementige Menge. Beschreibe vollständig (durch Auflistung aller zugehörigen Paare) die Relation auf der Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(M)$, die durch die Teilmengenbeziehung gegeben ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das inverse Element zu ${}{\overline {55}}$ in ${}\mathbb {Z} /(93)$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Finde alle Lösungen ${}(a,b,c)\in K^{3}$, die das Gleichungssystem

${}a\cdot b=c\,,$

${}b\cdot c=a\,,$

${}a\cdot c=b\,,$

erfüllen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass eine Cauchy-Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}K$ beschränkt ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Vergleiche

${\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\sqrt {4}}+{\sqrt {6}}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Inwiefern ist eine „Kommazahl“ eine Folge, inwiefern eine Zahl?

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in ${}\mathbb {R}$. Zeige, dass der Durchschnitt

$\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$

aus genau einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$ besteht.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme den minimalen Wert der reellen Funktion

${}f(x)=x^{2}-3x+{\frac {4}{3}}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

mit

${}f(x)={\begin{cases}x,\,{\text{ falls }}x\in \mathbb {Q} \,,\\0,\,{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

nur im Nullpunkt stetig ist.

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Es sei ${}z={\frac {a}{b}}$ eine rationale Zahl.

1. Zeige, dass es ein normiertes Polynom ${}P\in \mathbb {Q} [X]$ mit

   ${}P(z)=0\,$

   gibt.

2. Zeige, dass es ein Polynom ${}Q\in \mathbb {Q} [X]$ mit ganzzahligen Koeffizienten und mit

   ${}Q(z)=0\,$

   gibt.

Aufgabe * (4 (3+1) Punkte)

Es sei

${}P={\frac {1}{24}}X^{4}-{\frac {1}{2}}X^{2}+1\,.$

1. Bestimme die kleinste positive Nullstelle von ${}P$.
2. Besteht ein Zusammenhang zwischen dieser Nullstelle und ${}{\frac {\pi }{2}}$?

Aufgabe * (4 Punkte)

Im ${}\mathbb {R} ^{3}$ sei durch

${\left\{{\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}1\\-3\\4\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {R} \right\}}$

eine Gerade ${}G$ gegeben. In der ${}x-y$-Ebene ${}E$ sei ${}K$ der Kreis mit dem Mittelpunkt ${}(0,0)$ und dem Radius ${}8$. Liegt der Durchstoßungspunkt der Geraden ${}G$ mit der Ebene ${}E$ innerhalb, außerhalb oder auf dem Kreis ${}K$?

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

Wir betrachten die Produktmenge ${}\{K,Z\}\times \{K,Z\}$ und ihre Teilmengen. Fridolin sagt:

„Jede Teilmenge der Produktmenge ist selbst ein Produkt von Teilmengen. Die Menge ${}\{K,Z\}$ hat nämlich zwei Elemente, deshalb besitzt ihre Potenzmenge ${}2^{2}=4$ Elemente. Eine Produktmenge zu zwei Teilmengen besitzt die Form ${}E_{1}\times E_{2}$. Da hier jede Kombination erlaubt ist, muss es ${}4\cdot 4=16$ Teilmengen geben, die selbst Produktmengen sind. Die Produktmenge ${}\{K,Z\}\times \{K,Z\}$ besitzt ${}4$ Elemente, somit besitzt ihre Potenzmenge ${}16$ Elemente. Somit gibt es überhaupt ${}16$ Ereignisse in der Produktmenge und ${}16$ Produktereignisse, also ist jedes Ereignis ein Produktereignis“.

1. Ist diese Aussage korrekt?
2. Ist diese Argumentation korrekt?

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei zwei aufeinander folgenden Lottoziehungen die gleichen Zahlen gezogen werden?
2. Bauer Ernst spielt jede Woche Lotto. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zweimal hintereinander sechs Richtige hat?