Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/6/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 2 4 1 3 3 4 3 3 3 4 2 4 5 2 4 4 3 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Diagonalmatrix.
  2. Eine Ordnungsrelation auf einer Menge .
  3. Ein Ringhomomorphismus

    zwischen Ringen und .

  4. Eine Intervallschachtelung in einem angeordneten Körper .
  5. Ein Winkel im Bogenmaß.
  6. Ein Ereignis in einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Äquivalenzrelation zu einer Abbildung .
  2. Der Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.
  3. Die Formel für die totale Wahrscheinlichkeit.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung

im gegebene Gerade.


Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

Die Zeitungen und verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.

  1. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  2. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  3. Die Abonnenten von bleiben zu bei , niemand wechselt zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  4. Von den Nichtlesern entscheiden sich je für ein Abonnement von oder , die übrigen bleiben Nichtleser.

a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.

b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je Abonnenten und es gibt Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?

c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme, ob die durch die Gaußklammer gegebene Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist oder nicht.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei eine zweielementige Menge. Beschreibe vollständig (durch Auflistung aller zugehörigen Paare) die Relation auf der Potenzmenge , die durch die Teilmengenbeziehung gegeben ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das inverse Element zu in .


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper. Finde alle Lösungen , die das Gleichungssystem

erfüllen.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass eine Cauchy-Folge in beschränkt ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Vergleiche


Aufgabe (3 Punkte)

Inwiefern ist eine „Kommazahl“ eine Folge, inwiefern eine Zahl?


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei , , eine Intervallschachtelung in . Zeige, dass der Durchschnitt

aus genau einem Punkt besteht.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme den minimalen Wert der reellen Funktion


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper .


Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass die Funktion
mit
nur im Nullpunkt stetig ist.


Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Es sei eine rationale Zahl.

  1. Zeige, dass es ein normiertes Polynom mit

    gibt.

  2. Zeige, dass es ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten und mit

    gibt.


Aufgabe * (4 (3+1) Punkte)

Es sei

  1. Bestimme die kleinste positive Nullstelle von .
  2. Besteht ein Zusammenhang zwischen dieser Nullstelle und ?


Aufgabe * (4 Punkte)

Im sei durch

eine Gerade gegeben. In der -Ebene sei der Kreis mit dem Mittelpunkt und dem Radius . Liegt der Durchstoßungspunkt der Geraden mit der Ebene innerhalb, außerhalb oder auf dem Kreis ?


Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

Wir betrachten die Produktmenge und ihre Teilmengen. Fridolin sagt:

„Jede Teilmenge der Produktmenge ist selbst ein Produkt von Teilmengen. Die Menge hat nämlich zwei Elemente, deshalb besitzt ihre Potenzmenge Elemente. Eine Produktmenge zu zwei Teilmengen besitzt die Form . Da hier jede Kombination erlaubt ist, muss es Teilmengen geben, die selbst Produktmengen sind. Die Produktmenge besitzt Elemente, somit besitzt ihre Potenzmenge Elemente. Somit gibt es überhaupt Ereignisse in der Produktmenge und Produktereignisse, also ist jedes Ereignis ein Produktereignis“.

  1. Ist diese Aussage korrekt?
  2. Ist diese Argumentation korrekt?


Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

  1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei zwei aufeinander folgenden Lottoziehungen die gleichen Zahlen gezogen werden?
  2. Bauer Ernst spielt jede Woche Lotto. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zweimal hintereinander sechs Richtige hat?