Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/9/Klausur/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 3 }

\renewcommand{\avier}{ 5 }

\renewcommand{\afuenf}{ 1 }

\renewcommand{\asechs}{ 10 }

\renewcommand{\asieben}{ 3 }

\renewcommand{\aacht}{ 3 }

\renewcommand{\aneun}{ 4 }

\renewcommand{\azehn}{ 2 }

\renewcommand{\aelf}{ 4 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 6 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 2 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 5 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellesiebzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwortpraemath {m \times n} {Matrix}{} über einem Körper $K$.

}{Eine \stichwort {Relation} {} zwischen Mengen \mathkor {} {M} {und} {N} {.}

}{Ein \stichwort {Ideal} {}
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq R}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$.

}{Ein \stichwort {halboffenes Intervall} {} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$.

}{Eine \stichwort {Nullfolge} {} in einem angeordneten Körper $K$.

}{Der \stichwort {Kreis} {} mit dem Mittelpunkt $(a,b)$ und dem Radius $r$. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Charakterisierungssatz für Basen im
\mathl{K^m}{.}}{Die Eigenschaften des Cauchy-Folgen-Modells der reellen Zahlen.}{Die \stichwort {Division mit Rest} {} im Polynomring
\mathl{K[X]}{} über einem Körper $K$.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Löse das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4x-5y+7z }
{ =} {-3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-2 x+4y+3z }
{ =} {9 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} {-2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5 (2+3)}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei \maabb {\varphi} {K^n} {K^m } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige die folgenden Eigenschaften. \aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(0) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} } {Für jede \definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
\mathl{\sum_{i = 1}^k s_i v_i}{} in $K^n$ gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( \sum_{i = 1}^ks_i v_i \right) } }
{ =} { \sum_{i = 1}^k s_i \varphi { \left( v_i \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{1}
{






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Gartentoreverbindung.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Gartentoreverbindung.png } {} {Bocardodarapti} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}

Lege in der Skizze für die drei Häuser überschneidungsfrei Wege zu den zugehörigen gleichfarbigen Gartentoren an.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{10 (2+2+5+1)}
{

Wir betrachten auf $\N_+$ die Relation $\sim$, die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m }
{ \sim} {n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} festgelegt ist, falls $m$ eine Potenz von $n$ und $n$ eine Potenz von $m$ teilt. \aufzaehlungvier{Zeige, dass $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist. }{Bestimme, welche der folgenden Elemente zueinander äquivalent sind, welche nicht.
\mathdisp {100,\, 1000, \, 9,\, 125, \, 500 , \, 27, \, 10, \, 210} { . }
}{Es sei $Q$ die Quotientenmenge zu dieser Äquivalenzrelation und es sei $\mathbb P$ die Menge der Primzahlen mit der Potenzmenge
\mathl{\mathfrak {P} \, ({\mathbb P} )}{.} Zeige, dass es eine natürliche Abbildung \maabbdisp {\varphi} {\N_+} { \mathfrak {P} \, ({\mathbb P} ) } {} gibt, die zu einer injektiven Abbildung \maabbdisp {\tilde{\varphi}} { Q} { \mathfrak {P} \, ({\mathbb P} ) } {} führt. Ist $\tilde{\varphi}$ surjektiv? }{Wie sieht ein besonders einfaches Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation aus? }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Bestimme das inverse Element zu
\mathl{\overline{44}}{} in
\mathl{\Z/(97)}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ = }{7 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit dem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0 }
{ = }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} durch \zusatzklammer {es sollen also die Approximationen
\mathl{x_1,x_2,x_3}{} für $\sqrt{7}$ berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden} {} {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
\mathl{K}{} derart, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\delta }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n }
{ \geq }{ \delta }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle $n$ gibt. Zeige, dass die Folge
\mathl{{ \frac{ 1 }{ x_n } }}{} ebenfalls eine Cauchy-Folge ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Die Dezimalentwicklungen der beiden reellen Zahlen \mathkor {} {x} {und} {y} {} beginnen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} { 0{,}523\,107\,34\dotso }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { 0{,}346\,892\,65\dotso }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Was kann man über die Ziffernentwicklung der Summe
\mathl{x+y}{} sagen?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Beweise den Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Erläutere, warum man mit der Dezimalentwicklung von reellen Zahlen \anfuehrung{nicht}{} rechnen kann.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$ und sei $P \in K[X]$ ein Polynom, das eine Zerlegung in Linearfaktoren besitze. Es sei $T$ ein \definitionsverweis {Teiler}{}{} von $P$. Zeige, dass $T$ ebenfalls eine Zerlegung in Linearfaktoren besitzt, wobei die Vielfachheit eines Linearfaktors
\mathl{X-a}{} in $T$ durch seine Vielfachheit in $P$ beschränkt ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Man finde ein \definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {f=a+bX+cX^2} { }
mit $a,b,c \in \R$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
\mathdisp {f(-1) =2,\, f(1) = 0,\, f(3) = 5} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} { x^3-5x^2-x+2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass für alle
\mathl{x \in \R}{} die folgende Beziehung gilt: Wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x+2 } }
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 1000 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x)-f(-2) } }
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 20 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Wir betrachten den \definitionsverweis {endlichen Wahrscheinlichkeitsraum}{}{}
\mathl{\{ a,b,c,d,e\}}{} mit der \definitionsverweis {Wahrscheinlichkeitsdichte}{}{}
\mathdisp {f(a) = { \frac{ 1 }{ 100 } } ,\, f(b) = { \frac{ 1 }{ 25 } } = { \frac{ 4 }{ 100 } } ,\, f(c) = { \frac{ 1 }{ 5 } } = { \frac{ 20 }{ 100 } } ,\, f(d) = { \frac{ 1 }{ 4 } } = { \frac{ 25 }{ 100 } },\, f(e) = { \frac{ 1 }{ 2 } } = { \frac{ 50 }{ 100 } }} { . }
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: \aufzaehlungvier{
\mathl{\{a, e\}}{,} }{
\mathl{\{b,c,e\}}{,} }{
\mathl{\{a, c,d\}}{,} }{
\mathl{\{a,b,d,e\}}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5 (2+2+1)}
{

Eine faire Münze werde zehnmal geworfen. Wir interessieren uns für die Anzahl, wie oft Kopf geworfen wurde. \aufzaehlungdrei{In welchem minimalen Bereich der Form
\mathl{\{5-k , \ldots , 5+k \}}{} liegt die Anzahl der Kopfwürfe mit einer Wahrscheinlichkeit von $\geq 0{,}9$? }{In welchem minimalen Bereich der Form
\mathl{\{5-k , \ldots , 5+k \}}{} liegt die Anzahl der Kopfwürfe mit einer Wahrscheinlichkeit von $\geq 0{,}6$? }{In welchem minimalen Bereich der Form
\mathl{\{5-k , \ldots , 5+k \}}{} liegt die Anzahl der Kopfwürfe mit einer Wahrscheinlichkeit von $\geq 25\,\%$? }

}
{} {}