Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/9/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	3	5	1	10	3	3	4	2	4	6	3	3	2	5	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine ${}m\times n$-Matrix über einem Körper ${}K$.
2. Eine Relation zwischen Mengen ${}M$ und ${}N$.
3. Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
4. Ein halboffenes Intervall in einem angeordneten Körper ${}K$.
5. Eine Nullfolge in einem angeordneten Körper ${}K$.
6. Der Kreis mit dem Mittelpunkt ${}(a,b)$ und dem Radius ${}r$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Charakterisierungssatz für Basen im ${}K^{m}$.
2. Die Eigenschaften des Cauchy-Folgen-Modells der reellen Zahlen.
3. Die Division mit Rest im Polynomring ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Löse das lineare Gleichungssystem

${}4x-5y+7z=-3\,,$

${}-2x+4y+3z=9\,,$

${}x=-2\,.$

Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ eine lineare Abbildung. Zeige die folgenden Eigenschaften.

1. Es ist ${}\varphi (0)=0$.
2. Für jede Linearkombination ${}\sum _{i=1}^{k}s_{i}v_{i}$ in ${}K^{n}$ gilt

   ${}\varphi {\left(\sum _{i=1}^{k}s_{i}v_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{k}s_{i}\varphi {\left(v_{i}\right)}\,.$

Aufgabe (1 Punkt)

Lege in der Skizze für die drei Häuser überschneidungsfrei Wege zu den zugehörigen gleichfarbigen Gartentoren an.

Aufgabe * (10 (2+2+5+1) Punkte)

Wir betrachten auf ${}\mathbb {N} _{+}$ die Relation ${}\sim$, die durch

${}m\sim n\,$

festgelegt ist, falls ${}m$ eine Potenz von ${}n$ und ${}n$ eine Potenz von ${}m$ teilt.

1. Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.
2. Bestimme, welche der folgenden Elemente zueinander äquivalent sind, welche nicht.

   $100,\,1000,\,9,\,125,\,500,\,27,\,10,\,210.$

3. Es sei ${}Q$ die Quotientenmenge zu dieser Äquivalenzrelation und es sei ${}\mathbb {P}$ die Menge der Primzahlen mit der Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,({\mathbb {P} })$. Zeige, dass es eine natürliche Abbildung

   $\varphi \colon \mathbb {N} _{+}\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,({\mathbb {P} })$

   gibt, die zu einer injektiven Abbildung

   ${\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,({\mathbb {P} })$

   führt. Ist ${}{\tilde {\varphi }}$ surjektiv?

4. Wie sieht ein besonders einfaches Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation aus?

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das inverse Element zu ${}{\overline {44}}$ in ${}\mathbb {Z} /(97)$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu ${}b=7$ mit dem Startwert ${}x_{0}=3$ durch (es sollen also die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3}$ für ${}{\sqrt {7}}$ berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper ${}K$ derart, dass es ein ${}\delta >0$ mit ${}x_{n}\geq \delta$ für alle ${}n$ gibt. Zeige, dass die Folge ${}{\frac {1}{x_{n}}}$ ebenfalls eine Cauchy-Folge ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Die Dezimalentwicklungen der beiden reellen Zahlen ${}x$ und ${}y$ beginnen

${}x=0{,}523\,107\,34\dotso \,$

und

${}y=0{,}346\,892\,65\dotso \,$

Was kann man über die Ziffernentwicklung der Summe ${}x+y$ sagen?

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$ und sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom, das eine Zerlegung in Linearfaktoren besitze. Es sei ${}T$ ein Teiler von ${}P$. Zeige, dass ${}T$ ebenfalls eine Zerlegung in Linearfaktoren besitzt, wobei die Vielfachheit eines Linearfaktors ${}X-a$ in ${}T$ durch seine Vielfachheit in ${}P$ beschränkt ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man finde ein Polynom

${}f=a+bX+cX^{2}\,$

mit ${}a,b,c\in \mathbb {R}$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

$f(-1)=2,\,f(1)=0,\,f(3)=5.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

${}f(x)=x^{3}-5x^{2}-x+2\,.$

Zeige, dass für alle ${}x\in \mathbb {R}$ die folgende Beziehung gilt: Wenn

${}\vert {x+2}\vert \leq {\frac {1}{1000}}\,,$

dann ist

${}\vert {f(x)-f(-2)}\vert \leq {\frac {1}{20}}\,.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Wir betrachten den endlichen Wahrscheinlichkeitsraum ${}\{a,b,c,d,e\}$ mit der Wahrscheinlichkeitsdichte

$f(a)={\frac {1}{100}},\,f(b)={\frac {1}{25}}={\frac {4}{100}},\,f(c)={\frac {1}{5}}={\frac {20}{100}},\,f(d)={\frac {1}{4}}={\frac {25}{100}},\,f(e)={\frac {1}{2}}={\frac {50}{100}}.$

Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

1. ${}\{a,e\}$,
2. ${}\{b,c,e\}$,
3. ${}\{a,c,d\}$,
4. ${}\{a,b,d,e\}$.

Aufgabe * (5 (2+2+1) Punkte)

Eine faire Münze werde zehnmal geworfen. Wir interessieren uns für die Anzahl, wie oft Kopf geworfen wurde.

1. In welchem minimalen Bereich der Form ${}\{5-k,\ldots ,5+k\}$ liegt die Anzahl der Kopfwürfe mit einer Wahrscheinlichkeit von ${}\geq 0{,}9$?
2. In welchem minimalen Bereich der Form ${}\{5-k,\ldots ,5+k\}$ liegt die Anzahl der Kopfwürfe mit einer Wahrscheinlichkeit von ${}\geq 0{,}6$?
3. In welchem minimalen Bereich der Form ${}\{5-k,\ldots ,5+k\}$ liegt die Anzahl der Kopfwürfe mit einer Wahrscheinlichkeit von ${}\geq 25\,\%$?

Aufgabe (4 Punkte)

Welche Eigenschaften der reellen Zahlen kann man am Zahlenstrahl gut illustrieren, für welche ist das schwierig?