Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/9/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 3 5 1 10 3 3 4 2 4 4 6 3 3 2 5 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine -Matrix über einem Körper .
  2. Eine Relation zwischen Mengen und .
  3. Ein Ideal in einem kommutativen Ring .
  4. Ein halboffenes Intervall in einem angeordneten Körper .
  5. Eine Nullfolge in einem angeordneten Körper .
  6. Der Kreis mit dem Mittelpunkt und dem Radius .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Charakterisierungssatz für Basen im .
  2. Die Eigenschaften des Cauchy-Folgen-Modells der reellen Zahlen.
  3. Die Division mit Rest im Polynomring über einem Körper .


Aufgabe * (3 Punkte)

Löse das lineare Gleichungssystem


Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

Es sei ein Körper und sei eine lineare Abbildung. Zeige die folgenden Eigenschaften.

  1. Es ist .
  2. Für jede Linearkombination in gilt


Aufgabe (1 Punkt)

Gartentoreverbindung.png

Lege in der Skizze für die drei Häuser überschneidungsfrei Wege zu den zugehörigen gleichfarbigen Gartentoren an.


Aufgabe * (10 (2+2+5+1) Punkte)

Wir betrachten auf die Relation , die durch

festgelegt ist, falls eine Potenz von und eine Potenz von teilt.

  1. Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.
  2. Bestimme, welche der folgenden Elemente zueinander äquivalent sind, welche nicht.
  3. Es sei die Quotientenmenge zu dieser Äquivalenzrelation und es sei die Menge der Primzahlen mit der Potenzmenge . Zeige, dass es eine natürliche Abbildung

    gibt, die zu einer injektiven Abbildung

    führt. Ist surjektiv?

  4. Wie sieht ein besonders einfaches Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation aus?


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das inverse Element zu in .


Aufgabe * (3 Punkte)

Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu mit dem Startwert durch (es sollen also die Approximationen für berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper derart, dass es ein mit für alle gibt. Zeige, dass die Folge ebenfalls eine Cauchy-Folge ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Die Dezimalentwicklungen der beiden reellen Zahlen und beginnen

und

Was kann man über die Ziffernentwicklung der Summe sagen?


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.


Aufgabe (4 Punkte)

Erläutere, warum man mit der Dezimalentwicklung von reellen Zahlen „nicht“ rechnen kann.


Aufgabe * (6 Punkte)

Sei ein Körper und sei der Polynomring über und sei ein Polynom, das eine Zerlegung in Linearfaktoren besitze. Es sei ein Teiler von . Zeige, dass ebenfalls eine Zerlegung in Linearfaktoren besitzt, wobei die Vielfachheit eines Linearfaktors in durch seine Vielfachheit in beschränkt ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Man finde ein Polynom

mit derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

Zeige, dass für alle die folgende Beziehung gilt: Wenn

dann ist


Aufgabe * (2 Punkte)

Wir betrachten den endlichen Wahrscheinlichkeitsraum mit der Wahrscheinlichkeitsdichte

Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .


Aufgabe * (5 (2+2+1) Punkte)

Eine faire Münze werde zehnmal geworfen. Wir interessieren uns für die Anzahl, wie oft Kopf geworfen wurde.

  1. In welchem minimalen Bereich der Form liegt die Anzahl der Kopfwürfe mit einer Wahrscheinlichkeit von ?
  2. In welchem minimalen Bereich der Form liegt die Anzahl der Kopfwürfe mit einer Wahrscheinlichkeit von ?
  3. In welchem minimalen Bereich der Form liegt die Anzahl der Kopfwürfe mit einer Wahrscheinlichkeit von ?