Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 54/latex
\setcounter{section}{54}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im $\R^2$ mit Mittelpunkt
\mathl{(4,-1)}{,} der durch den Punkt
\mathl{(-2,5)}{} läuft.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im $\R^2$ mit Mittelpunkt
\mathl{(-5,5)}{,} der durch den Punkt
\mathl{(-4,-1)}{} läuft.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden $G$ und des Kreises $K$, wobei $G$ durch die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 2y-3x+1
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $K$ durch den Mittelpunkt $(2,2)$ und den Radius $5$ gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden, die durch die beiden Punkte \mathkor {} {(-1,1)} {und} {(4,-2)} {} verläuft.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise
\mathkor {} {K_1} {und} {K_2} {,}
wobei $K_1$ den Mittelpunkt
\mathl{(3,4)}{} und den Radius $6$ und $K_2$ den Mittelpunkt $(-8,1)$ und den Radius $7$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die Schnittpunkte der beiden Ellipsen \mathkor {} {{ \left\{ (x,y) \in\R^2 \mid x^2+xy+3y^2 = 3 \right\} }} {und} {{ \left\{ (x,y) \in\R^2 \mid 2x^2-xy+y^2 = 4 \right\} }} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe die obere Hälfte des Einheitskreises und die untere Hälfte des Einheitskreises als den Graphen einer Funktion.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid y = x^2 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Standardparabel und $K$ der Kreis mit dem Mittelpunkt $(0,1)$ und dem Radius $1$.
\aufzaehlungfuenf{Skizziere
\mathkor {} {P} {und} {K} {.}
}{Erstelle eine Gleichung für $K$.
}{Bestimme die Schnittpunkte
\mathdisp {P \cap K} { . }
}{Beschreibe die untere Kreisbogenhälfte als Graph einer Funktion von
\mathl{[-1,1]}{} nach $\R$.
}{Bestimme, wie die Parabel relativ zum unteren Kreisbogen verläuft.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme alle Lösungen der Kreisgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+y^2
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für die Körper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \Z/(2)}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{,}
\mathl{\Z/(3)}{,}
\mathl{\Z/(5)}{}
und
\mathl{\Z/(7)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere die trigonometrischen Dreiecke zu den Winkeln
\aufzaehlungdrei{
\mathl{2 \pi /3}{,}
}{
\mathl{5 \pi /4}{,}
}{
\mathl{7\pi /4}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Begründe die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin x
}
{ \leq} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R_{\geq 0}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die Sinus- bzw. die Kosinusfunktion die folgenden Werte besitzt.
a)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin { \frac{ \pi }{ 4 } }
}
{ =} { \cos { \frac{ \pi }{ 4 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos { \frac{ \pi }{ 3 } }
}
{ =} {{ \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin { \frac{ \pi }{ 3 } }
}
{ =} {{ \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten eine Uhr mit Minuten- und Sekundenzeiger, die sich beide kontinuierlich bewegen. Bestimme eine Formel, die aus der Winkelstellung des Minutenzeigers die Winkelstellung des Sekundenzeigers \zusatzklammer {jeweils ausgehend von der 12-Uhr-Stellung im Uhrzeigersinn gemessen} {} {} berechnet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wie hoch muss ein Spiegel mindestens sein, damit man sich in ihm vollständig sehen kann \zusatzklammer {ohne sich zu verrenken} {} {?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme den Grenzwert der Folge
\mathdisp {\frac{ \sin n }{n} , \, n \in \N_+} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \defeq} { \sin n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nicht konvergiert.
}
{} {}
Mit einem Ausdruck der Form
\mathl{\sin^{ n } x}{} meint man
\mathl{(\operatorname{sin} (x))^n}{.}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Entscheide, ob die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \defeq} { { \frac{ 3 \sin^{ 4 } n -7n^3 +11n }{ 5 n^3 -4n^2 - \cos n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $\R$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und bestimme gegebenenfalls den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Ordne die folgenden Funktionen den Bildern zu
\zusatzklammer {man schreibe ohne Begründung hinter den Funktionsausdruck den Buchstaben des zugehörigen Bildes; nur für vollständig richtige Antworten gibt es Punkte} {} {.}
\aufzaehlungsechs{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x +1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x -1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } x +1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x +1 \right) +1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( 2 x +1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x + { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) -1} { . }
}
-
a) -
b) -
c)
-
d) -
e) -
f)
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere die Funktion \maabbeledisp {g} {\R_+} {\R } {x} { \sin { \frac{ 1 }{ x } } } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { \begin{cases}x \cdot \sin \frac{1}{x} \text{ für } x \neq 0 \, , \\ 0 \text{ sonst}\, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierte Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist. Ist der Graph dieser Funktion \anfuehrung{zeichenbar}{?}
}
{} {}
Die trigonometrischen Funktionen sind periodisch im Sinne der folgenden Definition.
Eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabb {f} {\R} {\R
} {} heißt \definitionswort {periodisch}{} mit \definitionswort {Periode}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { f(x+L)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {periodische Funktion}{}{} und \maabbdisp {g} {\R} {\R } {} eine beliebige Funktion.
a) Zeige, dass die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathl{g \circ f}{} wieder periodisch ist.
b) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung
\mathl{f \circ g}{} nicht periodisch sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\maabbdisp {f_1,f_2} {\R} {\R
} {}
\definitionsverweis {periodische Funktionen}{}{}
mit den Periodenlängen
\mathkor {} {L_1} {bzw.} {L_2} {.}
Der Quotient
\mathl{L_1/L_2}{} sei eine
\definitionsverweis {rationale Zahl}{}{.}
Zeige, dass auch
\mathl{f_1+f_2}{} eine periodische Funktion ist.
}
{} {}
Die nächsten Aufgaben verwendet den Begriff der geraden und der ungeraden Funktion.
Eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
heißt \definitionswort {gerade}{,} wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { f(-x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
Eine Funktion
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
heißt \definitionswort {ungerade}{,} wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { -f(-x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabb {f} {\R} {\R } {} eine Funktion. Woran erkennt man am \definitionsverweis {Graphen}{}{} von $f$, ob $f$ eine \definitionsverweis {gerade Funktion}{}{} ist?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabb {f} {\R} {\R } {} eine Funktion. Woran erkennt man am \definitionsverweis {Graphen}{}{} von $f$, ob $f$ eine \definitionsverweis {ungerade Funktion}{}{} ist?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der \definitionsverweis {Betrag}{}{} \maabbeledisp {\betrag { \,\, \, }} {\R} {\R } {x} { \betrag { x } } {,} eine \definitionsverweis {gerade Funktion}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine \definitionsverweis {lineare Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} { ax } {,} eine \definitionsverweis {ungerade Funktion}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{P= \sum_{k=0}^d a_k x^k \in \R[X]}{} ein Polynom. Zeige, dass $P$ genau dann eine
\definitionsverweis {gerade Funktion}{}{}
definiert, wenn
\mathl{a_k=0}{} für alle ungeraden Indizes ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} { \sum_{k = 0}^d a_k x^k
}
{ \in} { \R[X]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Polynom. Zeige, dass $P$ genau dann eine
\definitionsverweis {ungerade Funktion}{}{}
definiert, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_k
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle geraden Indizes ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Erstelle die Drehmatrizen zu den Winkeln
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \alpha
}
{ =} { 0,\, \pi, \, \pi/2,\, \pi/3,\, \pi/6,\, \pi/4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{{\mathcal D}
}
{ =} { { \left\{ D(\alpha) \mid \alpha \in \R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Menge aller
\definitionsverweis {Drehmatrizen}{}{}
mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung.
\aufzaehlungvier{Zeige, dass
\mathl{({\mathcal D}, \circ, E_2)}{} eine Gruppe ist.
}{Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} {\R} { {\mathcal D}
} {\alpha} { D(\alpha)
} {,}
ein surjektiver
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
ist.
}{Zeige, dass
\mathl{2 \pi \Z}{} der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
der Abbildung
\mathl{\alpha \mapsto D(\alpha)}{} ist.
}{Zeige die Gruppenisomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\R/2 \pi \Z
}
{ \cong} { {\mathcal D}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos 3 \alpha
}
{ =} { 4 \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
aus den
Additionstheoremen
für die trigonometrischen Funktionen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne
\mathdisp {{ \left( 1 - { \frac{ 1 }{ 2 } } X^2+{ \frac{ 1 }{ 24 } } X^4 \right) }^2 + { \left( X - { \frac{ 1 }{ 6 } } X^3 + { \frac{ 1 }{ 120 } } X^5 \right) }^2} { . }
Was fällt dabei auf und wie kann man es erklären?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 24 } } X^4 - { \frac{ 1 }{ 2 } } X^2+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Bestimme die kleinste positive Nullstelle von $P$.
} {Besteht ein Zusammenhang zwischen dieser Nullstelle und ${ \frac{ \pi }{ 2 } }$?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \anfuehrung{Ableitung}{} der Sinusreihe unter der \zusatzklammer {in diesem Fall richtigen} {} {} Annahme, dass man bei einer unendlichen Summe von Funktionen gliedweise ableiten darf.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden $G$ und des Kreises $K$, wobei $G$ durch die Gleichung
\mathl{3y-4x+2=0}{} und $K$ durch den Mittelpunkt $(2,5)$ und den Radius $7$ gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Berechne die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der beiden Kreise
\mathkor {} {K} {und} {L} {,} wobei $K$ den Mittelpunkt $(2,3)$ und den Radius $4$ und $L$ den Mittelpunkt
\mathl{(5,-1)}{} und den Radius $7$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Bestimme die Schnittpunkte der beiden Ellipsen \mathkor {} {{ \left\{ (x,y) \in\R^2 \mid 4x^2-3xy+2y^2 = 7 \right\} }} {und} {{ \left\{ (x,y) \in\R^2 \mid 3x^2+4xy+5y^2 = 8 \right\} }} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Entscheide, ob die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \defeq} { { \frac{ 5 \sin^{ 3 } n -6n^4 +13 n^2+ { \left( \sin n \right) } { \left( \cos \left( n^2 \right) \right) } }{ 7 n^4 -5n^3 +n^ 2 \sin^{ 2 } \left( n^3 \right) - \cos n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $\R$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und bestimme gegebenenfalls den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass man jede
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{g+h
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einer stetigen
\definitionsverweis {geraden Funktion}{}{}
$g$ und einer stetigen
\definitionsverweis {ungeraden Funktion}{}{}
$h$ schreiben kann.
}
{} {}
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