Sinus und Kosinus/Reell/Eigenschaften/Fakt

Die Funktionen

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cos x,$

und

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x,$

besitzen für ${}x,y\in \mathbb {R}$ folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}\cos 0=1$ und ${}\sin 0=0$.
2. Es ist ${}\cos \left(-x\right)=\cos x$ und ${}\sin \left(-x\right)=-\sin x$.
3. Es gelten die Additionstheoreme

   $\cos(x+y)=\cos x\cdot \cos y-\sin x\cdot \sin y.$

   und

   $\sin(x+y)=\sin x\cdot \cos y+\cos x\cdot \sin y.$

4. Es gilt

   $(\cos x)^{2}+(\sin x)^{2}=1.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen